Метод прогонки

1. Рассмотрим систему, полученную при замене уравнения и краевых условий конечно-разностными отношениями:

.

Метод прогонки решения таких систем заключается в следующем. Запишем сначала первые n-1 уравнений системы в виде

y_{i + 2} + m_iy_{i + 1} + k_iy_i = h ² f_i, где m_i = − 2 + hp_i, k_i = 1 − hp_i + h ² q_i,(i = 0,1,2,..., n − 2).

Затем написанная выше система приводится к виду y_{i + 1} = c_i (d_i − y_{i + 2}),(i = 0,1,2,..., n − 2). Числа c_i, d_i последовательно вычисляются по формулам:

при i=0 ;

при i=1,2,...,n-2 .

Вычисления производятся в следующем порядке.

ПРЯМОЙ ХОД. По формулам вычисляем значения m_i, k_i. Находим c ₀ d ₀ и затем, применяя последовательно рекуррентные формулы, получаем значения c_id_i при i = 1,2,..., n − 2.

ОБРАТНЫЙ ХОД.Из уравнения при i=n-2 и последнего уравнения системы получаем .

Решив эту систему относительно y_n, будем иметь Используя уже известные числа c_{n − 2} d_{n − 2}, находим y_n. Затем вычисляем значения y_i (i = n − 1,...,1),последовательно применяя рекуррентные формулы:

Значение y ₀ находим из предпоследнего уравнения системы: .

2. Рассмотрим метод прогонки для решения системы, которая получается при замене уравнения и второго краевого условия центральными конечно-разностными отношениями:

.

Запишем сначала первые n-1 уравнений системы в виде , где . Затем приводим эти уравнения к виду y_i = c_i (d_i − y_{i + 1}),(i = 1,2,..., n − 1), где коэффициенты c_i, d_i вычисляются по формулам: при i=1 ; при i=2,...,n-2 .

Вычисления производятся в следующем порядке.

ПРЯМОЙ ХОД. По формулам вычисляем значения m_i, k_i. Находим c ₁ d ₁ и затем, применяя последовательно рекуррентные формулы, получаем значения c_id_i при i = 2,..., n − 2.

ОБРАТНЫЙ ХОД.Запишем уравнение при i = n, i = n − 1 и последнее уравнение системы: .

Решая эту систему относительно y_n, будем иметь Используя уже известные числа c_n, d_n, c_{n − 1} d_{n − 1}, находим y_n. Значения y_i (i = n − 1,...,1)получаем из рекуррентных формул.

Значение y ₀ находим из предпоследнего уравнения системы: .

Дата добавления: 2014-01-03