Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

Рассмотрим систему вида:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных и в приведении системы к ступенчатому виду путём элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями системы называют преобразования вида:

- перестановка местами любых двух уравнений системы;

- умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате элементарных преобразований получается система, эквивалентная исходной. Если при проведении элементарных преобразований получается уравнение вида, то такое уравнение вычёркивается из системы. Если получается уравнение вида, где, то система несовместна.

Переход от исходной системы (1) к равносильной системе ступенчатого вида называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы ступенчатого вида – обратным ходом.

Прямой ход

В системе среди коэффициентов при неизвестном x₁ найдётся хотя бы один не равный нулю. Уравнение с этим коэффициентом записывается первым. – ведущий коэффициент для первого уравнения. Разделим первое уравнение системы на a₁₁, получим:, где

Проведём первый шаг преобразований, который заключается в исключении неизвестной x₁ из 2-го, 3-го… уравнений системы. Для этого будем умножать уравнение (4) на числа –a₂₁, –a₃₁…–a_m1 и складывать соответственно со 2-м, 3-м,…, m -м уравнениями системы (1).

В результате получим систему:.

Второй шаг преобразований.

Предположим – ведущий коэффициент 2-го уравнения системы (5). Разделим обе части 2-го уравнения системы (5) на, полученное уравнение, где С помощью уравнения (6) исключим неизвестную x₂ из 3-го, 4-го, …, m-го уравнений системы (5). Для этого умножим обе части уравнения (6) на числа и сложим соответственно с 3-м, 4-м, …, m -м уравнениями системы.

В результате получим систему:.

После конечного числа таких шагов возможны варианты.

1) Получена система треугольного вида:

которая совместна и определенна. Она имеет единственное решение, которое находится обратным ходом.

2) Получена система трапецеидального вида. Тогда выбираются базисные неизвестные, которые выражаются через свободные неизвестные, и записывается общее решение системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений в зависимости от значений свободных неизвестных.

3) Система несовместна, если она содержит уравнение вида,.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-03