Проекция вектора на ось

Векторы и линейные операции над ними

22.

Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве

4.1. Векторы и линейные операции над ними

4.2. Проекция вектора на ось

4.3. Скалярное произведение векторов

4.4. Векторное произведение векторов

4.5. Смешанное произведение векторов

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается.

Определение. Модуль (длина) вектора – длина порождающего вектор отрезка. Обозначается.

Определение. Нулевой вектор – это вектор, начало и конец которого совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю, направление он не имеет.

Определение. Единичный вектор – это вектор, длина которого равна 1.

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и направление.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов

2. Умножение вектора на число. Произведением вектора на число называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1); 2) если;

3) если; 4)

Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов):.

Определение. Прямая L с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат – совокупность точки О – начала координат и трёх взаимно перпендикулярных осей ox, oy, oz с выбранными на них единицами масштаба, где единичные векторы координатных осей ox, oy, oz соответственно.

Обозначим – угол между положительным направлением оси и вектором, отсчитываемый в направлении против движения часовой стрелки. Проекцией на ось называется число A'B ', при этом A'B '>0, если, A'B' <0 если. В обоих случаях пр._L =.

Свойства проекций векторов

1);

2)

Определение. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

Обозначается, где a_x – пр._Ox; a _y – пр._Oy; a _z – пр._Oz.

Длина вектора с помощью его координат определяется по формуле

.

Выражение вида называется разложением по единичным векторам.

Пусть – углы, которые образует соответственно с осями оx, оy, оz, тогда – направляющие косинусы вектора, причём и.

Если заданы координаты начала вектора A(x_A,y_A,z_A) и его конца B(x_A, y_A, z_A), то координаты вектора.

Замечание

Если векторы заданы в координатной форме, то есть,, то линейные операции над векторами выполняются по правилам:

1.

2.

Дата добавления: 2014-01-03