Плоскость в пространстве

31.

Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве

6.1. Плоскость в пространстве

6.2. Прямая в пространстве

6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть точка M₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит плоскости П.

Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Теорема 1. Если плоскость проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) и её нормальный вектор, то уравнение плоскости имеет вид:

.

Доказательство. Пусть M(x,y,z) – текущая точка плоскости, тогда

принадлежит плоскости. Так как - нормальный вектор плоскости, то, но

Теорема 2. Всякое линейное уравнение с тремя переменными определяет плоскость в пространстве, если хотя бы одно из трех чисел.

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости. При этом, если в уравнении отсутствует какая-либо переменная, то плоскость параллельна соответствующей оси координат, например: плоскость Если в уравнении (1) D =0, то плоскость проходит через начало координат.

Предположим, что в общем уравнении плоскости все коэффициенты отличны от нуля, т.е. плоскость пересекает все координатные оси и не проходит через начало координат. Преобразуем уравнение (1):

– уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c – отрезки, которые отсекает плоскость на координатных осях оx, оy и оz соответственно.

Замечание:

1) Уравнение плоскости, проходящей через три точки (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃), имеет вид:

2) Уравнение плоскости, проходящей через две точки (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂) перпендикулярно плоскости имеет вид:

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям и

имеет вид:

Рассмотрим взаимное расположение плоскостей в пространстве. Пусть даны две плоскости

П₁:

П₂:

Определение. Под углом между двумя плоскостями понимают один из двух смежных двугранных углов.

Угол между двумя плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Вычисляется этот угол по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности их нормальных векторов. – необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей; или – необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Расстояние от точки M^*(x^*,y^*,z^*) до плоскости П:

вычисляется по формуле:.

Дата добавления: 2014-01-03