Окрестность точки, элементы топологии

Множество действительных чисел R и его основные подмножества

49.

Рассмотрим множество действительных чисел R=(и его основные подмножества:

а) N – множество натуральных чисел, N = { 1, 2, 3, …….}

б) Z - множество целых чисел, Z = {0; +1, +2, +3, ….}

в) Q – Множество рациональных чисел

Q = {^m/_n, где m, n є Z, дробь m/n – несократимая},

г) J = R \ Q – множество иррациональных чисел;

д) множество последовательностей { а_1, а_{2, …} а_n, …, а_n є R, n є N }.

Заметим, что N C Z C Q C R

е) Числовые промежутки:

интервал (a, b) = { x є R: a < x < b },

отрезок [ a, b ] = { x є R: a ≤ x ≤ b };

интервалы смешанного типа

[ a, b) = (a, b) {a} и (a, b ] = (a, b) {b};

Бесконечные промежутки

(- ∞, a) = { x є R: x < a } и (- ∞, a] = { x є R: x ≤ a },

(a, +∞) = {x є R: x > a } и [a, +∞)) = {x є R: x ≥ a },

а также (-∞, +∞) = R.

Пусть 𝜺 – произвольное положительное число, 𝜺

Определение 1. 𝜺 – окрестностью точки x₀ Є R называется интервал

(x₀ –𝜺, x₀ + 𝜺) или х: |x - x₀| < 𝜺.

(.)

x₀ – 𝜺 x₀ x₀ + 𝜺

Пусть X – произвольное множество, &= { U_i, i Є I } – некоторое семейство его подмножеств, где множество I имеет произвольную мощность.

Определение 2. Семейство & определяет во множестве Х топологию, если

1) X и Ø Є U;

2) объединение любого числа множеств из семейства & принадлежит

семейству &;

3) Пересечение конечного числа множеств из семейства & принадлежит &.

Примеры топологических пространств (X, U):

Х = R, & – семейство окрестностей. Понятия точки прикосновения, предельной точки, сходимости последовательности точек, непрерывности функций могут быть описаны в терминах открытых множеств (в терминах окрестностей точек).

Дата добавления: 2014-01-03