Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из Х в У

71.

Лекция 13. Линейные операторы

13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из Х в У

13.2. Свойства линейных операторов, действующих из Х в Х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора

13.3. Матрица линейного оператора

13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису

13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

13.6. Линейная модель обмена

Пусть Х и У – линейные пространства. Элементы этих пространств будем называть векторами.

Определение 1. Оператором по которому каждому вектору х ставится в соответствие определенный вектор у и обозначается у = или у =.

Множество Х	Правило	Множество У
Произвольное	Отображение	Произвольное
Векторное пространство	Оператор	Векторное пространство
Нечисловое	Функционал	Числовое
Числовое	Функция	Числовое

Определение 2. Оператор называется линейным, если для любых х₁ и х₂ из множества Х и выполняются соотношения:

1) + (свойство аддитивности),

2) =λ∙ (свойство однородности).

Линейный оператор переводит нулевой вектор пространства Х в нулевой вектор пространства У: = 0

Вектор у = называется образом вектора х, а вектор х называется прообразом вектора у.

Пусть и линейные операторы, действующие из Х в У.

Определение 3. Два оператора и называются равными, если для =.

Определение 4. Суммой двух линейных операторов и называется линейный оператор, определяемый равенством:

(+.

Определение 5. Произведением линейного оператора на число называется линейный оператор λ, определяемый равенством:

(λ =λ∙().

Определение 6. Нулевым оператором называется оператор, для которого для

Нулевой оператор переводит все элементы из Х в нулевой элемент пространства У.

Определение 7. Противоположным к оператору называется линейный оператор -, определяемый равенством: -.

Множество всех линейных операторов обозначим L(Х,У). Это множество с указанными выше операциями суммы операторов и умножения на скаляр оператора, нулевым оператором и противоположным оператором образует векторное (линейное) пространство.

Примеры линейных операторов

1) Х=У= Rⁿ, Rⁿ отображение у = αх Rⁿ представляет собой умножение вектора на число и является преобразованием подобия;

2) Х- множество матриц-столбцов размера n⤫1,

У- множество матриц-столбцов размера m⤫1,

Отображение У=А∙Х представляет собой умножение матрицы А размера m⤫n на столбцы Х размера n⤫1;

3) Числовая функция у = к∙х.

Дата добавления: 2014-01-03