Линейная модель обмена

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящего к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁, S₂, …, S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно. Обозначим коэффициентами долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

(11)

Рассмотрим матрицу А =, которую называют структурной матрицей международной торговли. Согласно (11) сумма элементов любого столбца этой матрицы равна единице.

Для любой страны S_i (i= выручка от внутренней и внешней торговли составит: p_i =.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше её национального дохода: (i=

Если считать (i=, то подучим систему неравенств (12)

Сложив все неравенства системы (12), получим после группировки

)+ + +…+)+…

+ + +…+).

Учитывая (11), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству.

Таким образом, неФравенство (i= невозможно, и условие принимает вид (i=. С экономической точки зрения все страны не могут одновременно получать прибыль.

Введем вектор х = () национальных доходов стран, получим матричное уравнение АХ=Х, в котором вектор х записан в виде столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению λ=1.

Пример. Структурная матрица торговли трех стран S₁, S₂, S₃ имеет вид А = Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение. Найдем собственный вектор х,отвечающий собственному значению λ=1, решив уравнение (А-Е)Х=0 или систему методом Гаусса.

Найдем, т.е. х = ().

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов х = () т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2:2:1 или 3:4:2.

Дата добавления: 2014-01-03