Группировка вариационного ряда – деление вариационного ряда на части

2.1. Определение количества классов (интервалов).

Для определения количества классов используем формулу Старжесса,

k=j+3,3*lgN, (1)

где k-количество классов; N- объем выборки или количество значений в ряду.

По формуле (1) определяем количество классов, на которое необходимо разделить вариационный ряд:

k=j+3,3*lg 30=6

2.2. Определение длины каждого класса.

Определение размаха или амплитуды колебаний случайной величины:

R=Xmax-Xmin (2)

R=30,91-14.42=16.49 (мг/л)

h=R/k, (3)

где R-размах (мг/л), h-длина каждого интервала.

h= 16.49/6=2,75

2.3. Определение границ каждого интервала.

1) Xmin+h=X1-[Xmin;X1] – границы 1-го интервала;

2)X1+h=X2-[X1;X2] –границы 2-го интервала.

К)X k-1 +h=X2 –[Xk-1;Xk] – границы К-го интервала.

Результаты расчёта:

1)14,42 +2,75=17,17 -[14,42;17,17]- граница 1 интервала

2) 17,17+2,75=19,92 -[17,17;19,92]- граница 2 интервала

3)19,92 +2,75=22,67 -[19,92;22,67]- граница 3 интервала

4)22,67 +2,75=25,42 -[22,67;25,42]- граница 4 интервала

5)25,42 +2,75=28,17 -[25,42;28,17]- граница 5 интервала

6)28,17 +2,75=30,92 -[28,17;30,92]- граница 6 интервала

2.4. Определение эмпирической частоты.

Частота – это количество значений, попавших в каждый интервал.

Результаты расчета:

Таблица 3

№	Границы интервалов, мг/л	Частота, n	Среднее арифм. интервала, Xi, мг/л	ni-Xi
1.	[14,42;17,17]	5	15,145	75,725
2.	[17,17;19,92]	10	18,3	183
3.	[19,92;22,67]	9	20,6	185,4
4.	[22,67;25,42]	1	24,045	24,045
5.	[25,42;28,17]	3	27,92	83,76
6.	[28,17;30,92]	2	29,815	59,63
	∑	30	∑	611,56

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

3.1. Определение мер положения.

Целью исследования является определение центра распределения.

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следующей формуле:

= (мг/л) (4)

Где – среднее арифметическое значение выборки (мг/л); - элементы выборки (мг/л).

Если учитывать, что ряд натуральных наблюдений вариационный и сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно рассчитать по следующей зависимости:

= (мг/л) (5)

где - среднее арифметическое значение каждого интервала (мг/л); - частота каждого интервала.

= = 20,38 (мг/л)

Мода – значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке. Оно определяется по формуле:

(мг/л) (6)

где – начало модального интервала

– частота модального интервала

– частоты последующего и предыдущего за модальным интервалом

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана – определение серединного элемента выборки:

(мг/л) (7)

где – начало модального интервала

– частота модального интервала

– сумма частот, предшествующих медианному

Медианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду четное количество значений, то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

(мг/л)

3.2 Меры рассеивания.

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.

Согласно методу моментов дисперсия определяется по формуле:

(8)

Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением и обозначается δ (мг/л).

Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации

(9)

3.3 Характеристики формы кривой распределения

Характеристиками формы кривых распределений выступают третий и четвертый центральные моменты.

Третий центральный момент характеризует симметричность ряда, т.е. неравномерность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

= (10)

Безразмерный коэффициент асимметрии () определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратичного отклонения.

Четвертый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения.

= (11)

Показателем остро- или плосковершинности выступает коэффициент эксцесса (), который определяется отношением четвертого центрального момента к к среднему квадратичному отклонению в четвертой степени, за вычетом коэффициента 3.

Общая формула для расчета центральных моментов

Таблица 4

K						*	*	*
		- 5,235	27,40	-143.466	751.046		-717,33	3755,23
		- 2,08	4,33	-8,998	18.717	43,3	-89,98	187,17
		0,22	0.048	0.010	0.002	0,432	0,09	0,018
		3,665	13.432	49.229	180.424	13.432	49.229	180.424
		7,54	56.851	428.661	3 232.104	170,553	1285,983	9696,312
		9,435	89.019	839.896	7 924.422	178,038	1679,792	15848,844
∑					∑	542,755	2207,784	29667,998

= ( - )

1) =15,145-20,38=- 5,235

2) =18,3-20,38=- 2,08

3) 20,6- 20.38=0,22

4) =24,045- 20,38=3,665

5) =27,92- 20,38=7,54

6) =29,815-20,38= 9,435

(мг/л)

73,5928(мг/л)^3

(мг/л)^4

3.4. Изучение формы распределения

Так как коэффициент вариации , то ряд считается однородным.

Полученный коэффициент ассиметрии показывает на наличие правосторонней ассиметрии:

Оценка степени существенности ассиметрии выборки:

Вывод: асимметрия несущественная для выборки, так как ;при подборке генеральной совокупности можно воспользоваться несимметричными кривыми распределения.

Оценка степени существенности эксцесса:

Вывод: эксцесс несущественен для выборки, так как ; все предпосылки результатов расчетов направлены на подтверждение искомого аналитического закона – нормальная кривая распределения.В дальнейшем это предположение будет проверено статистическим критерием согласия Пирсона.

Дата добавления: 2015-07-13