Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Нехай матеріальна точка C одночас­но бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою частотою у двох вза­ємно перпендикулярних напрямках як вздовж осі Х, так і вздовж осі Y (рис. 31). Якщо збудити обидва коливання, матеріальна точка буде рухатись вздовж деякої криволінійної траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю. Тоді рівняння коливань матимуть такий вигляд:

, .

де - різниця фаз обох коливань.

Ці вирази – параметрична форма
рівняння траєкторії, вздовж якої рухається точка, що бере участь в обох коливаннях. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь параметр . Проведемо наступні перетворення:

, ,

;

,

.

В результаті отримаємо

.

Це рівняння еліпса, осі якого повер­нуті відносно координатних осей OX і OY. Орієнтація еліпса і величини його півосей залежать від амплітуд OA і OB і різниці фаз .

Розглянемо частинні випадки.

1).

Тоді ;

звідси .

Результуюче коливання є гармонічним вздовж прямої з частотою і амплітудою (рис. 32). Пряма утворює з віссю X кут .

2). ,

У цьому випадку

;

і

.

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис. 33).

3).

В результаті .

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 34).

Якщо А=В, то еліпс вироджується в коло. Випадки

і

відрізняються напрямком руху по еліпсу чи колу.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнена траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнені траєкторії, що кресляться точкою, яка здійснює одночасно два взаємно перпендикулярні коливання, назива­ються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, що додаються (рис. 35).

Дата добавления: 2015-07-13