Задачі для самостійного розв’язання. Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини

Рівняння площини за трьома точками

Нехай задані три точки , і , що не лежать на одній лінії. Довільна точка відмінна від , буде знаходитись в площині точок тоді і тільки тоді, коли вектори

компланарні, тобто коли їх мішаний добуток .

В координатній формі запишеться:

– рівняння площини за трьома точками.

Приклад. Скласти рівняння та побудувати площину, яка проходить через точки .

Розв’язання. За формулою (20)

площина паралельна (рис.19).

Рис. 19.

3.13. Кут між двома площинами. Умова паралельності та перпендикулярності площин

Якщо для однозначності кутом між двома площинами називати один з менших двогранних кутів між ними, а відповідно до цього менший із кутів назвемо кутом між двома векторами, то кут між двома площинами є кутом між їх нормальними векторами (див. рис. 20),

Рис. 20.

де , – нормальні вектори площин , .

Якщо , то

– умова перпендикулярності двох площин.

Коли ж , то отримуємо

(23)

– умову паралельності двох площин.

Відстань від точки до площини : , виражається формулою:

Дійсно, із рисунка 21

Рис. 21.

бачимо, що для довільної точки

,

де . Оскільки

бо із а , то формула (21), таким чином, доведена.

1. Дано точки Скласти рівняння площини та знайти висоту піраміди

2. Знайти точку перетину трьох площин

Вказівка. Розв’язати систему рівнянь.

3. Побудувати площини: 1) 2) 3) 4) 5)

4. Скласти рівняння площини, яка перпендикулярна осі ОУ і проходить через точку М(-6,7,10).

5. Написати рівняння площини, яка проходить через вісь ОХ і точку М(4,-5,6).

6. Написати рівняння площини, яка паралельна осі OZ і проходить через точки М(-1,4,-8) і N(2,-3,-1).

7. Записати рівняння площини у відрізках.

8. Знайти об’єм піраміди, утвореної координатними площинами та площиною .

9. Дано площину . Необхідно знайти: 1) об’єм піраміди, обмеженої цією площиною та координатними площинами; 2) відстань до цієї площини від початку координат; 3) площу бічної грані, яка відтинається координатними площинами від заданої площини.

10. Дві грані куба лежать на площинах і .

11. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох площин і

12. Знайти гострий кут між площинами і

13. Дано вершини піраміди А(1,-2,2), В(2,-3,-6), С(5,1,4) і . Знайти довжину висоти, яка проведена із вершини В.

14. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки і В(1,-2,8) і перпендикулярна площині .

Відповіді: 1. 2.

4. у-7=0. 5. 6. 7.

8. 96. 9. 1) 243; 2) 6; 3) 121,5. 10. 8. 11.

12. 60°. 13. 4. 14.

Дата добавления: 2017-01-14