Задачі для самостійного розв’язання. Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок, що називаються фокусами

Еліпс

Означення. Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала і дорівнює .

Позначимо фокуси і . Припустимо, що відстань = – фокусна відстань. Щоб отримати канонічне рівняння еліпса розмістимо і на осі , симетрично щодо початку координат. Тоді фокуси матимуть координати і (див. рис. 24).

Нехай M ( x, y ) – довільна точка еліпса. Позначимо через r ₂ і r ₁ – відстані від точки M до фокусів. Згідно з означенням еліпса.

. (38)

Рис. 24.

Підставимо в (38) , і звільнимось від ірраціональності, піднісши обидві частини до квадрата, отримаємо:

(підносимо до квадрата обидві частини)

Позначимо: , отримаємо канонічне рівняння еліпса:

Відмітимо, що за відомою властивістю трикутника (сума двох сторін більша третьої) із маємо

Оскільки , то , а тому

(*)

Для побудови еліпса зауважимо, що якщо точка належить еліпсу, тобто задовольняє рівняння (39), то точки теж задовольняють це рівняння: із

Точки – розміщені симетрично відносно осей координат. Отже, еліпс – фігура симетрична відносно координатних осей. Тому досить побудувати графік в першій чверті, а тоді симетрично продовжити його.

З (39) знаходимо , для І -ої чверті .

Якщо , то . Якщо ж , то . Точки і , а також симетричні з ними – вершини еліпса, точка – центр еліпса, – велика вісь, – мала вісь еліпса. Якщо І чверті, то із випливає, що при зростанні від до значення спадає від до . Зображення еліпса на рис. 25.

Величина відношення міжфокусної відстані до великої осі називається ексцентриситетом еліпса і, після скорочення на 2, позначається . Значення ексцентриситета характеризує ступінь “сплющенності” еліпса. Якщо , то – маємо коло. Якщо ж , то – еліпс вироджується у відрізок. В невироджених випадках Для фокальних радіусів наведемо без доведення такі формули:

(**)

Рис. 25.

Еліпс можна побудувати механічним способом. Із канонічного рівняння знаходимо півосі і , тоді обчислюємо – півфокусну відстань. Будуємо фокуси і на відстані один від одного . Кінці нерозтяжної нитки довжиною закріпляємо в точках і . Натягуючи вістрям олівця нитку, водимо вістрям по площині таким чином, щоб нитка ковзала по вістрю. Олівець при цьому опише півеліпс. Відтягуючи нитку в протилежну сторону, накреслимо другу половину еліпса.

Задача 1. Задано еліпс рівнянням і точки М₀(4;1,8), М₁(3;2,4). Необхідно:

1) переконатись, що точки М₀ і М₁ лежать на еліпсі;

2) знайти півосі еліпса та координати його фокусів;

3) побудувати еліпс і точки М₀ і М₁;

4) знайти відстань від точки М₀ до фокусів;

5) упевнитись, що сума цих відстаней дорівнює довжині великої осі;

6) знайти ексцентриситет еліпса.

Розв’язання. 1) Підставимо координати x=4; y=1,8 точки М₀ в ліву частину рівняння еліпса:

– точка М₀ лежить на еліпсі. Аналогічно для М₁(3;2,4):

– точка М₁ лежить на еліпсі.

2) З канонічного і даного рівняння еліпса випливає З рівності (*) цього параграфа – півфокусна відстань. Координати фокусів F₁(4;0) і F₂(-4;0).

3)

Відкладемо значення півосі симетрично відносно точки О(0,0) на осі ОХ. Аналогічно b=3 відкладемо на осі ОУ.

4) Знайдемо фокальні радіуси точки М₀

5) Знайдемо суму , що відповідає означенню еліпса.

6) Ексцентриситет знаходиться за формулою

Задача 2. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса . Побудувати еліпс.

Розв’язання. Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду (див. рівняння (39)), перенесемо вільний член вправо і почленно розділимо на нього всю рівність

Порівнюючи останнє рівняння з рівнянням (39), маємо Звідси знаходимо осі еліпса 2а=24, 2b=10 і координати вершин А₁(12,0), А₂(-12,0), В₁(0,5), В₂(0,-5). Далі із формули . Отже, фокусами еліпса є точки F₁(,0) і F₂(,0). Для побудови еліпса відкладаємо на осях ОХ і ОУ вершини А₁, В₁, А₂, В₂ відповідно і з’єднуємо їх плавною лінією (див. попередню задачу).

Зауваження. Якщо у канонічному рівнянні більшою піввіссю буде b>a, то фокуси еліпса будуть розміщені на осі ОУ і тоді .

Задача 3. Знайти осі, вершини і фокуси еліпса .

Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного , Вершини еліпса в точках А₁(5,0), В₁(0,13), А₂(-5,0) і В₂(0,-13). Будуємо вершини на координатних осях і з’єднаємо плавною лінією (див рис.). Оскільки в даному випадку b=13 більше ніж , то еліпс витягнутий вдовж осі OY і фокуси теж будуть на осі OY, знаходимо півфокусну відстань Фокуси в точках і (див. рис. 25-2)

Задача 4. Довести, що рівняння

описує еліпс. Знайти координати центра, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет. Побудувати еліпс.

Розв’язання. Зведемо рівняння до канонічного вигляду. Спочатку згрупуємо по кожній із змінних і виділимо повний квадрат

Позначимо Зроблену заміну змінних будемо розглядати як перетворення прямокутних координат x і y із системи XOY в нові координати і системи шляхом паралельного перенесення координатних осей, де новий початок знаходиться в точці . В новій системі координат рівняння еліпса приймає канонічний вигляд

З канонічного рівняння , , , , , . Побудуємо в системі XOY точку - новий початок координат, проведемо через нові осі і . В системі будуємо еліпс за отриманим канонічним рівнянням, тобто по відкладаємо вліво і вправо відносно півосі , а по - аналогічні півосі (див рисунок).

1. Знайти координати вершин, фокусів, півосі і ексцентриситет еліпсів:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Які з точок А(13, 0), В(5, ), С(0, 5), D(, 4) лежать на еліпсі ?

4. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо він проходить через точки , .

5. На еліпсі знайти точки з фокальним радіусом .

Вказівка. Використати формули для фокальних радіусів

6. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань і ексцентриситет для кожного з еліпсів: 1) ; 2) ; 3) . Записати канонічні рівняння та побудувати графіки.

7. В еліпс вписано прямокутник, дві протилежні сторони якого проходять через фокуси. Обчислити площу цього прямокутника.

8. Знайти довжину відрізка прямої , який міститься у середині еліпса .

9. Скласти рівняння спільної хорди еліпса і кола

10. Знайти довжину хорди, яка проходить через фокус еліпса і перпендикулярна великій осі.

Відповіді:

1. 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Дата добавления: 2017-01-14