Аналитическая Геометрия: плоскость в R3

Следствия.

Аналитическая Геометрия: Прямая в R3.

Свойства Векторного Произведения векторов.

Векторное произведение векторов в R3.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

α

=b-а а

4.1 - косинус угла и угол между векторами - направленными отрезками:

- ортогональность векторов ç - перпендикулярность ┴

|ПР_b (а) < 0 | | |

4.2 Проекция (алгебраическая) вектора на вектор

а

b

bи

|ПР_b (а)>0 |

ПР_b(а) = ||a||∙cos(α) =

|ПР_b (а)>0 |

èПример.

Пусть Рассмотрим вектор , разложение которого в стандартном базисе задаётся «правилом»:

Найдём скалярные произведения

Определение
«Векторным произведением» векторов R³ называется вектор

,
ортогональный векторам ┴ ┴

Например,

Из определения и свойств определителя матрицы вытекают

(3)

(4)

(5)

АГ – решение «геометрических» задач аналитическими методами Линейной Алгебры (СЛАУ) и ЛВП (базис, разложение по базису, скалярное и векторное произведения, норма вектора).

Например, аксиоме геометрии: «через точку M₀(x₀,y₀,z₀) в R³ проходит единственная прямая L, параллельная заданной прямой», соответствует задание прямой L двумя её «параметрами» -
- точкой M₀(x₀,y₀,z₀)∊L и направляющим вектором S_L –Н.О., параллельным прямой S_L|| L:

Уравнение, связывающее координаты любой («текущей») точки прямой , получим, из условия коллинеарности векторов (

(1)

1. (1) ó

2. Точка , если СЛАУ (1) (не имеет решений)

(3) Условие
- параллельности прямых: (корд-ты пропорциональны)
- перпендикулярности прямых: S ₁ _|_ S₂ ó(S ₁ S₂)=0
(4) Углом между прямыми называется угол между их направляющими векторами:

(5) Точка пересечения прямых

Пример. L(A(1,2,3); s_L=[1,-1,1]^T1) èB(1,1,1)∉L, т.к. ; 2) Найти уравнение прямой L1 || L и проходящей через точку В è L1(B;S₁=S_L)

Прямая в R³ ó L(M₀;s_L||L)

Аксиомы геометрии:

А1: Через точкуM₀ проходит единственная плоскость , перпендикулярная прямой L_N _|_ .

А2: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости .
А3: Прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости .
А4: Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Из этих аксиом следует, что «на языке ЛВП R³ » плоскость в R³ однозначно определяется заданием двух ее «параметров» - точки и нормального вектора плоскости

óН.О., перпендикулярного плоскости(любому Н.О. в плоскости):

Пусть M(x,y,z) ∊α - произвольная («текущая») точка плоскости и вектор óH.О. _|_ . Уравнение плоскости получим из условия ортогональности векторов:

MM₀ _|_ ó

(1)

Дата добавления: 2017-01-14