Упражнения на решение задач линейного программирования

Упражнения на составление математических моделей

1.1. Требуется наилучшим образом вложить b долларов в акции трех акционерных предприятий (АП), не более чем по b_i долл. в каждое. Цены акций известны: c₁, c₂, c₃; дивиденды составляют: a₁>0, a₂>0, a₃=0. Известно также, что с вероятностью p цена акции третьего АП может вырасти к концу расчетного периода до величины c₃*>c₃.

Какой капитал следует вложить в каждое АП, чтобы получить максималь­ный суммарный доход?

1.2. В морском порту имеются предметы (грузы) n видов. Предмет j-го вида имеет массу a_j и ценность c_j.

Требуется загрузить корабль грузоподъемностью b так, чтобы ценность груза была наибольшей.

1.3. Под посев n культур отведено m земельных участков площадью a₁,...,a_n га. Средняя урожайность j-й культуры на i -участке составляет а_ij центнеров с га. Выручка за один центнер j-й культуры p_j руб.

Какую площадь на каждом участке следует отнести под каждую из культур, чтобы получить максимальную выручку, если по плану должно быть собрано не менее b_j центнеров j-й культуры?

1.4. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: А - 10 ед., В - 15 ед. При переработке из нефти получается бензин (Б) и мазут (М). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I: 1 ед.А + 2 ед.В дает З ед.Б + 2 ед.М;

II: 2 ед.А + 1 ед.В дает 1 ед.Б + 5 ед.М;

III: 2 ед.А + 2 ед.В дает 1 ед.Б + 2 ед.М;

Цена мазута - 1 долл. за единицу, цена бензина-10 долл. за единицу.

Найти наиболее выгодный технологический процесс переработки имеющегося количества нефти.

1.5. Для отопления дома в зимнее время летом производится закупка угля. В случае нормальной зимы для отопления дома требуется 15 тонн угля, но в годы мягкой зимы достаточно 10 тонн, а в случае суровой зимы необходимо 20 тонн. Цены на уголь зимой в случае мягкой, нормальной и суровой зимы разные - соответственно 10,15,20 ед. стоимости за тонну. Летом уголь можно купить по 10 ед. стоимости за тонну.

Следует ли покупать летом весь уголь на зиму или только его часть, докупив зимой недостающую часть, учитывая при этом, что излишек угля после зимы до следующего сезона сохраниться не может?

2.1. Изобразить на плоскости многогранники. задаваемые следующими системами неравенств и найти все их вершины:

а) 2x₁ + x₂ ≤ 8, б) x₁ + x₂ ≤ 6,

2x₁ - 5x₂ ≤ 20, -3x₁ + x₂ ≤ 9,

-x₁ + x₂ ≤ 2, x₁ + 2x₂ = 4;

x₁ ≥ 5;

в)-3x₁ + 6x₂ ≤ 13, г)-3x₁ + 2x₂ ≤ 0,

3x₁ + x₂ ≤ 9, x₁ - x₂ ≤ -1,

-x₁ + 2x₂ = 4; -x₁ + 2x₂ ≤ 4;

2.2. Используя графический метод, найти решения следующих задач:

а) x₁ + x₂ → max б) 2x₁ + x₂ → max

при ограничениях при ограничениях

3x₁ – 2x₂ ≤ 6, -x₁ + x₂ ≤ 2,

-x₁ + 2x₂ ≤ 4, x₁ + 2x₂ ≤ 7,

3x₁ + 2x₂ ≤ 12; 4x₁ – 3x₂ ≤ 6;

x₁ ≥ 0; x₁, x₂ ≥ 0;

2.3. Ограничения следующих задач привести к диагональной форме и исключить базисные переменные из целевой функции:

а) 8x₁ – 2x₂ – x₃ → max, б) x₁ + x₃ – 7x₄ + x₅ → max

при ограничениях при ограничениях

x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 4, x₁ – x₂ + 6x₄ – 2x₅ = -7,

7x₁ - x₃ ≤ 16, x₂ – x₃ – 4x₄ + 6x₅ = 24,

2x₁ – x₂ – x₃ = 2, x₁ + x₂ – x₃ – 4x₄ + 7x₅ =32,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3 x_j ≥ 0, j = 1,…,5

2.4. Следующие задачи решить симплекс-методом:

а) –x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ + x₅ → max,

при ограничениях

x₁ + 2x₂ - x₃ - 2x₄ + x₅≤3,

x₁ + x₂ - x₃ - 2x₄ - x₅≥-1,

2x₁ + x₂ + x₃ - x₄ ≤1,

x_j≥0, j=1,…,5.

б) x₁ + x₂ + x₃ – 2x₄ → min,

при ограничениях

2x₁ - x₂ + x₄ ≤ 3,

x₁ + x₂ + x₃ - x₄ ≤ 1,

x₁ + 2x₂ - x₃ ≤ 1,

x₁ + 3x₂ - 2x₃ + x₄ ≤ 1,

x_j ≥ 0, j = 1,…,4.

2.5. Следующие задачи решить двойственным симплекс-методом:

а) –2x₁ + 2x₂ + x₃ + 2x₄ – 3x₅ → max,

при ограничениях

2x₁ +x₂ - x₃ - x₄ = 1,

x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ + x₅= 4,

-x₁ +x₂ - x₅ = 4,

x_j ≥ 0, j = 1,…,5.

б) 2x₁ + x₂ – x₃ + 3x₄ – 2x₅ → min,

при ограничениях

8x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 9x₄ + 9x₅ = 30,

5x₁ + x₂ + 2x₃ + 5x₄ + 6x₅ = 19,

x₁+ x₂ + 3x₄ = 3,

x_j ≥ 0, j = 1,…,5.

2.6. Следующие транспортные задачи решить методом потенциалов:

a) a1= 300, b1 = 100, a2 = 200, b2 = 180, a3 = 200, b3 = 120, b4 = 140, b5 = 160,   б) a1 = 300, b1 = 170, a2 = 150, b2 = 110, a3 = 250, b3 = 100, b4 = 120, b5 = 200,

Дата добавления: 2015-07-13