Вывод уравнения колебания струны

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Пусть имеется гибкая упругая струна. Гибкость струны означает, что напряжение в ней может быть направлено только вдоль струны. Упругость струны означает, что процесс деформации струны обратим, и при нем не происходит потери энергии. Струна тонкая, т. е. ее поперечные размеры пренебрежимо малы по сравнению с ее длиной равной . В состоянии равновесия струна прямолинейна и расположена вдоль оси OX между точками и .

Если, закрепив концы струны, вывести ее из состояния равновесия, подвергнув действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Будем считать, что движение всей струны происходит в одной плоскости и что каждая точка движется перпендикулярно оси OX. Смещение точки струны с координатой x в момент времени t будем обозначать . Все деформации струны малы, т. е. малы как смещения каждой точки струны, так и углы поворотов элементов струны .

Рассмотрим элемент струны (рис.1), который в положении равновесия имеет концами точки x и . Пусть в результате отклонения струны в некоторый момент времени этот элемент переходит в положение . При этом, в силу малости деформаций, длина дуги приближенно равна . На концах деформированного элемента струны действуют силы натяжения в направлении касательных к элементу струны.

Рис. 1

Обозначим углы, образуемые этими касательными с осью OX, через и . Тогда вертикальная составляющая равнодействующей сил натяжения будет . Ввиду малости углов синусы можно заменить тангенсами, которые, в свою очередь равны производным:

.

Приравняем правую часть последнего соотношения силе инерции действующей на элемент , которая равна , где - линейная плотность материала струны. Тогда . Деля обе части последнего соотношения на , в левой части, в соответствии с теоремой конечных приращений Лагранжа, получим вторую производную от u по x и теперь будем иметь . Поскольку и - положительные величины, то, обозначая , получим окончательно:

. (3)

(3) – уравнение свободных колебаний струны. Это уравнение описывает всевозможные колебательные (волновые) процессы и поэтому называется волновым уравнением.

Дата добавления: 2015-07-13