Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уравнение колебаний мембраны и его решение




Уравнение колебаний струны – одномерное по пространственной координате волновое уравнение. Изучим двумерное волновое уравнение

. (11)

К этому уравнению сводится задача о свободных колебаниях однородной мембраны – идеально гибкой и тонкой пленки, упругой лишь тогда, когда она натянута. Пусть в состоянии покоя мембрана занимает некоторую область D плоскости . Будучи выведена каким-то образом из этого состояния, начинает колебаться так, что все ее точки движутся перпендикулярно плоскости . За будем обозначать отклонение точек мембраны от плоскости . зависит от пространственных координат точек мембраны , и от времени . Функция является искомой функцией и при фиксированных и дает закон колебания точки мембраны в зависимости от времени. Частные производные и определяют соответственно скорость и ускорение движущейся точки. Если зафиксировать , то - поверхность представляющая форму колеблющейся мембраны в момент времени .

Рассмотрим решение уравнения (11) для мембраны, которая в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми линиями , , , . Чтобы мембрана начала колебаться, нужно в начальный момент ее точкам придать либо начальные отклонения, либо начальные скорости, либо и то, и другое. Это значит, что задаются начальные условия

, , (12)

где и - функции, заданные в прямоугольнике. Кроме того, следует задать граничные условия, отражающие характер закрепления контура мембраны. Будем считать, что край мембраны закреплен неподвижно, т. е.

. (13)

Сформулированную краевую задачу (11) – (13) будем решать методом Фурье, задавая искомую функцию в виде произведения трех функций . Подставляя в таком виде ее в уравнение (11), будем иметь

,

разделяя переменные, получим . В последнем равенстве левая часть не зависит от и , правая часть не зависит от t, а тогда и левая и правая части, не завися ни от одной из переменных, а являются константами. Кроме того, поскольку отношение зависит только от , а отношение - только от , то сумма может быть постоянной лишь при условии, что каждое слагаемое есть величина постоянная, т. е. , (обе постоянные взяты отрицательными, поскольку в противном случае приходим лишь к тривиальному решению). Для отыскания функций , и приходим к следующим обыкновенным однородным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

, (14)

, (15)

, (16)

причем уравнение (14) следует решать при граничных условиях , а уравнение (15) - при условиях , что следует из граничных условий 13).

Общее решение уравнения 14) имеет вид . Удовлетворяя его граничным условиям , получим и - собственные числа, и - собственные функции. Аналогично, общее решение уравнения 15) имеет вид . Реализуя граничные условия, получаем и - собственные числа, и - собственные функции. Здесь и - любые целые положительные числа.

Теперь уравнение 16) примет вид . Это уравнение и его решение зависят как от значений так и от значений . Обозначим его решение . Оно будет

,

где - собственные частоты колебаний мембраны.

Частные решения краевой задачи имеют вид

.

Общее решение получим суммированием всех частных решений

.

17)

Реализуя в 17) начальные условия 12), получим

= , 18)

. 19)

Формулы 18), 19) представляют разложения функций двух переменных в двойные ряды Фурье. Формулы для отыскания коэффициентов и двойного ряда Фурье аналогичны формулам обычного ряда Фурье и имеют вид:

, 20)

. 21)

Таким образом, решение сформулированной краевой задачи 11) – 13) имеет вид 17), где коэффициенты и определяются по формулам 20) и 21).

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-07-13; Просмотров: 3228; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.