Решение задачи Дирихле методом конечных разностей

Решение краевых задач методом разделения переменных

Уравнение Лапласа в полярных координатах

При решении многочисленных задач математической физики часто используется двумерное уравнение Лапласа

, 46)

решение, которого часто выгоднее искать в полярных координатах.

Преобразуем уравнение 46) к полярным координатам, положив

Дифференцируя по правилу дифференцирования сложной функции

, ,

но

, ,

а тогда

, ,

,

аналогично .

Теперь

, .

Применяя правило дифференцирования сложной функции к производным и , найдем вторые частные производные

,

аналогично

.

Теперь .

Таким образом, уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид

. 47)

Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных в случае некоторых простейших областей (прямоугольник, круг, сектор и др.). При решении конкретных задач обычно пользуются общим решением уравнения Лапласа, которое получается методом разделения переменных и имеет вид:

- в полярных координатах

; 48)

- в декартовых координатах

. 49)

Неопределенные коэффициенты и определяются из граничных условий и физического смысла задачи.

2.3.4.1. Решение уравнения Лапласа в кольце

Найдем решение уравнения Лапласа в кольце, ограниченном окружностями и и принимающее следующие граничные значения

, , 50)

где , - постоянные.

Для решения поставленной задачи воспользуемся соотношением 48). Удовлетворяя первому граничному условию из 50), получим

,

так как здесь левая часть не зависит от , то в правой следует положить . И теперь решение имеет вид

. 51)

Таким образом, удовлетворение граничным условиям 50) приводит к

следующей системе для отыскания неизвестных коэффициентов :

откуда находим

, .

Подставляя найденные значения и в формулу 51) окончательно получим решение сформулированной задачи для кольца:

.

2.3.4.2. Решение задачи Дирихле для полуполосы

Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри полуполосы (), удовлетворяющее граничным условиям:

- , ;

- , ;

- , ,

где , , - постоянные.

Для решения задачи воспользуемся соотношением 49). Решение задачи должно быть ограниченным при , поэтому в 49) следует положить :

,

здесь включено в и , а - в и .

Определим , из первого граничного условия:

,

откуда , , следовательно,

.

Из третьего граничного условия получаем:

,

откуда и , или , . Теперь искомое решение

. 52)

Коэффициенты определятся из второго граничного условия

,

или .

В последнем соотношении известная линейная функция, стоящая в левой части представлена (в правой части) в виде разложения в ряд Фурье по синусам кратных дуг на интервале . - коэффициенты Фурье этого разложения, они вычисляются по формулам

. 53)

Таким образом, сформулированная задача имеет решение 52) - 53).

Пусть требуется найти решение уравнения Лапласа

в плоской замкнутой области с границей Г (рис. 6), удовлетворяющее граничному условию

на Г,

где - заданная непрерывная функция.

Рис. 6

Для решения сформулированной задачи проведем два семейства прямых

, ; , ,

где - заданное число. Будем говорить, что область покрыта сеткой. Приближенное значение искомой функции в точке обозначим . Аппроксимируем заданную область сетчатой областью , состоящей из всех квадратов, целиком лежащих в области и некоторых пересекаемых границей Г. При этом контур Г аппроксимируется контуром Г . В каждом узле, лежащем на контуре Г , зададим значение , равное значению функции в ближайшей точке контура Г. Значения искомой функции будем рассматривать только в узлах сетки. Заменим производные, входящие в уравнение Лапласа, конечными разностями:

, .

Уравнение Лапласа заменится следующим уравнением в конечных разностях , или, сокращая на и разрешая относительно , получим:

. 54)

Уравнения 54) составляются для каждого узла сетки, лежащего внутри области и не лежащего на границе Г . Если точка соседняя с точкой контура Г , то в правой части 54) будут известные значения .

Таким образом, получаем неоднородную систему N уравнений с N неизвестными, где N – число узлов сетки, лежащих внутри области . Доказывается, что полученная система имеет решение и притом единственное. Определенные из системы 54) значения - приближенные решения сформулированной задачи Дирихле в точках построенной сетки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Уравнения математической физики отражают общие черты, свойственные тем или иным процессам. Особенности конкретного процесса устанавливаются условиями однозначности, которые состоят из геометрических, физических, временных и граничных условий. Геометрические условия содержат информацию о форме и размерах тела. Физические условия дают значения физических величин участвующих в процессе. Временные и граничные условия, объединяемые под общим названием краевых условий, указывают на особенности протекания процесса во времени и на границах тела. Математически сформулированная задача содержит дифференциальное уравнение и краевые условия.

Среди различных способов решения уравнений математической физики можно выделить аналитические, численные, графические и решение с помощью аналогов. С бурным развитием вычислительной техники последние два способа (графические и с помощью аналогов) стали иметь меньшее применение. Аналитические методы можно разделить на точные и приближенные. Для решения задач часто применяются метод разделения переменных и операционный способ. Из приближенных аналитических методов следует отметить интегральный и вариационные методы. Наиболее ценными методами численного решения таких уравнений является метод конечных разностей (метод сеток) и метод конечного элемента, которые позволяют найти решение в отдельных точках области искомого решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Численные методы решения физических задач: учеб. пособие / В. И. Ращиков, А. С. Рошаль. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2005. - 208 с.
2. Поршнев С. В. Вычислительная математика. Курс лекций: Учеб. пособие / С. В. Поршнев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 320 с.
3. Губенков А. А. Методы конечных и граничных элементов. Теоретические основы математического моделирования твердотельных упругих устройств / А.А. Губенков; Сарат. гос. техн. ун-т; Сарат. гос. техн. ун-т (Саратов). - Саратов: СГТУ, 2006. - 167 с.
4. Колокольцев В. А. Основы применения метода конечных элементов в расчетах деталей машин: учеб. пособие по курсу "Детали машин"для студ. машиностроит. спец. / В. А. Колокольцев; Сарат. гос. техн. ун-т (Саратов). - Саратов: СГТУ, 2003. - 84 с.
5. Бочкарев А.В. Уравнения эллиптического типа и специальные функции: Учеб.пособие / А.В. Бочкарев, П.Б. Федоров. - Саратов: СГТУ, 2008. - 72 с.
6. Емельянов В. М. Уравнения математической физики: практикум по решению задач: Учеб. пособие / В. М. Емельянов, Е. А. Рыбакина. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. - 224 с.
7. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики: Учеб. пособие / К. Б. Сабитов. - М.: Высшая школа, 2003. - 255 с.
8. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики: Учеб. пособие / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: МГУ, 2007. – 798 с.
9. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции: Учеб.пособие / В. Я. Арсенин. - 2-е изд., перераб.и доп. - М.: Наука, 1984. - 384 с.
10. Годунов С. К. Уравнения математической физики: Учеб.пособие / С. К. Годунов. - 2-е изд., исправл. и дополн. - М.: Наука, 1979. - 392 с.
11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учебник / В. С. Владимиров. - 5-е изд., доп. - М.: Наука, 1988. - 512 с.
12. Бидасюк Ю.М. Mathsoft MathCAD 11: Самоучитель / Ю. М. Бидасюк. - М.; СПб.; Киев: Диалектика, 2004. - 224 с.
13. Глушаков С.В. Математическое моделирование: Mathcad 2000. Matlab 5; учебный курс / С. В. Глушаков, И. А. Жакин, Т. С. Хачиров. - Москва: АСТ; Харьков: Фолио, 2001. - 524 с.
14. Дьяконов В. Mathcad 8/2000: Спец.справочник / В. Дьяконов. - СПб.: Питер, 2001. - 592 с.
15. Линьков В.М. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум: учеб. пособие / В. М. Линьков, Н. Н. Яремко; ред. А. А. Емельянов. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 320 с.
16. Мэтьюз Д.Г. Численные методы. Использование MATLAB / Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк; пер. с англ. под ред. Ю. В. Козаченко. - 3-е изд. - М., СПб., К.: Изд. дом "Вильямс", 2001. - 720 с.
17. Потемкин В.Г. Введение в MATLAB: Учебно-справочное изд. / В. Г. Потемкин. - М.: Диалог-МИФИ, 2000. - 247 с.
18. Третьяков С.А. Некоторые численные методы прикладной электродинамики: учеб. пособие / С.А. Третьяков, А.С. Черепанов, Ю.Н. Новиков. - СПб.: СПбГТУ, 1993. - 64 с.
19. Черняк А. А. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс: учеб. пособие / А.А. Черняк, Ж.А. Черняк, Ю.А. Доманова. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 608 с.
20. Вельмисов П. А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие для студ. всех спец. техн. вузов / П.А. Вельмисов. - Ульяновск: УлПИ, 1994. - 75 с.

Дата добавления: 2015-07-13