Обоснование среднего арифметического как наилучшей оценки истинного измерения

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ (SI ИЛИ СИ)

Международная система единиц принята на Х1 Генеральной конференции по мерам и весам в 1960г. В СССР в качестве обязательной СИ введена в 1982г. (ГОСТ 8.417-81)

Основные величины и их единицы в СИ:

L – 1 метр,

T – 1 секунда,

M – 1 килограмм,

I – 1 ампер,

Θ – 1 кельвин,

N – 1 моль,

J – 1 кандела.

Стандарт распространяется на все области науки и техники, но в научных исследованиях временно допускаются другие системы единиц (СГС, Гауссова, естественные системы).

Истинным значением физической величины называют такое ее значение, которое идеальным образом отражало бы в качественном или количественном отношении существующее свойство объекта. При измерении любой физической величины ее истинное значение определить невозможно. Повторные измерения одной и той же физической величины дают результаты, отличающиеся друг от друга даже тогда, когда они проводились одним и тем же лицом, одним и тем же способом, посредством одних и тех же приборов. Причина этого заключается как в ограниченной точности приборов, так и во влиянии на измерение многих факторов, учесть которые невозможно. Поэтому любые измерения всегда производятся с погрешностями (наряду с термином «погрешность» используется также слово «ошибка» в значении именно погрешность, а не какое-то ошибочное действие). Погрешностью измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины, называется абсолютной погрешностью измерения. Абсолютная погрешность измерения в принципе определяется формулой:

Δ х = | x – X |, (2.1)

где x – результат измерения (оценка измеряемой величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц, полученная путем измерения), X – истинное значение физической величины. Однако, поскольку истинное значение остается неизвестным, на практике можно найти лишь приближенную оценку погрешностей измерения.

Качество измерения определяет относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности измерения к модулю истинного значения измеряемой величины:

(2.2)

Относительная погрешность может быть выражена в процентах, при этом она определяется по формуле

(2.3)

Качество измерений, отражающее близость результатов к истинному значению измеряемой величины, определяется также точностью измерений. Высокая точность измерения соответствует малым погрешностям. Количественно точность может быть выражена обратной величиной относительной погрешности, определенной по формуле (2.2).

В зависимости от источников погрешностей различают следующие составляющие погрешностей измерений:

а. Методическая погрешность Δ_М, которая возникает вследствие несовершенства метода измерений, обусловливающего отличие выбранной идеализированной модели измерения от реальной процедуры.

б. Погрешность прибора Δ_П, которая обусловлена тем, что показание любого, даже самого точного прибора всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины. Погрешность прибора может содержать случайную и систематическую составляющие (см. далее).

в. Погрешность округления Δ_О, возникающая при считывании со шкалы прибора результата измерения, который всегда содержит конечное число значащих цифр, т.е. всегда имеет погрешность округления.

г. Погрешность вычисления Δ_В, которая появляется в процессе математической обработки результатов измерений, когда вычисления ведутся с конечным числом значащих цифр и при этом возникают погрешности, связанные с такими вычислениями. Значащими цифрами числа называют все его цифры, начиная с первой, отличной от нуля слева. Например: число 0,00707 содержит три значащие цифры; число 2.500 – четыре значащие цифры.

д. Промахи – погрешности, существенно превышающие ожидаемые значения погрешностей при данных условиях эксперимента. Промахи могут быть вызваны невнимательностью экспериментатора, неправильно сделавшего отсчет или неверно записавшего его, неисправностью средств измерения, резким сотрясением установки, наводками при коротком замыкании цепи соседней установки и т.п. Промахи должны быть исключены из результатов измерений. Такое исключение осуществляется по специальной методике, которая будет изложена ниже (см. §3.5).

По характеру проявления различают случайные и систематические погрешности. Систематической называют составляющую погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Например: погрешность от несоответствия действительного значения меры, с помощью которой выполняют измерение, ее номинальному значению; погрешность, возникающая при измерении объема жидкости без учета теплового расширения в случае изменения температуры; погрешность при изменении массы, если не учитывать действия выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесах; шкала линейки может быть нанесена неравномерно, положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре, капилляр термометра в разных местах может иметь разное сечение – эти причины также приводят к систематическим погрешностям. Систематическую погрешность вносит также округление численных значение физических констант.

Поскольку причины, вызывающие систематические погрешности в большинстве случаев известны, то эти погрешности, в принципе, могут быть исключены за счет изменения метода измерения, введения поправок к показаниям приборов, учета систематического влияния внешних факторов и т.д. Однако на практике этого не всегда легко добиться, поскольку повторные измерения не выявляют систематических погрешностей.

Случайной называют составляющую погрешности измерения, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются сложной совокупностью причин, трудно поддающихся анализу. Присутствие случайных погрешностей (в отличие от систематических) легко обнаруживаются при повторных измерениях в виде некоторого разброса получаемых результатов. В качестве примера случайных погрешностей можно привести погрешность вследствие вариации показаний измерительного прибора; погрешность округления при отсчитывании показаний измерительного прибора; погрешность вследствие параллакса, которая может возникать при снятии показаний стрелочных приборов. Случайные погрешности вызываются также сотрясениями фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха, колебаниями напряжения в сети, питающей приборы и т.д.

Главной отличительной чертой случайных погрешностей является их непредсказуемость от одного отсчета к другому. Поэтому оценка случайных погрешностей может быть осуществлена только на основе теории вероятностей и математической статистики. Далее будет показано, что случайная погрешность уменьшается при увеличении числа измерений физической величины. Однако случайные ошибки надо сравнивать с систематическими, так как иначе может оказаться, что повышение точности измерений будет иллюзорным.

В качестве наглядной иллюстрации вышесказанного на Рис.1а на числовой оси приведены результаты пяти измерений, отмеченных черточками, а также истинное значение X измеряемой величины, когда имеются только случайные ошибки или случайные ошибки значительно превышают систематические; на Рис.1б представлены результаты пяти измерений, когда при наличии случайных ошибок систематические вносят значительный вклад.

а) б)

Рис. 1

Допустим, что мы произвели n измерений некоторой физической величины, истинное значение которой (нам неизвестное) обозначим Х, а результат отдельных измерений через х₁, х₂,…,х_n, Δх_i=X-x_i назовем истинной погрешностью I измерения. При этом предполагаем, что систематические ошибки отсутствуют. Тогда результат измерений можно записать так:

х₁=X-Δx^*₁

х₂=X-Δx^*₂

………… (2.2.1)

х_n=X-Δx^*_n

Естественно, что истинные погрешности Δx^*₁, Δx^*₂,…, Δx^*_n могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, которые нам также неизвестны, как и истинное значение физической величины. Суммируя левые части и почленно правые части равенств (2.2.1), получим

(2.2.2)

Введем понятие средней величины:

(2.2.3)

Разделим обе стороны равенства (2.2.2) на n, получим после перестановки членов

(2.2.4)

Если измерений достаточно велико, то

. (2.2.5)

Так как в серии из большого числа измерений всякой положительной погрешности можно сопоставить равную ей отрицательную погрешность из (2.2.4) следует, что при n→∞

(2.2.6)

При ограниченном числе измерений, среднее арифметическое будет отличаться от истинного значения физической величины (2.2.6) будет приближенным

(2.2.7)

Тем не менее среднее арифметическое из n значений является наилучшей оценкой истинного значения.

Дата добавления: 2015-07-13