Тема 3. Статистическая оценка достоверности различий

При выполнении научных исследований, написании отчетов и ряде других видов работ выводы могут базироваться на сравнении между собой каких-либо показателей. Для того, чтобы обоснованно утверждать, что один из них выше или ниже, чем другие требуется использовать критерии достоверности.

Для статистической оценки достоверности различий данных, полученных с использованием методов, основанных на теории вероятностей (случайные выборки, опыты со случайным размещением вариантов), можно применить дисперсионный анализ. Однако, для этого во всех сравниваемых выборках должно быть одинаковое количество данных, что встречается не всегда. Поэтому для оценки достоверности различий между выборками различного объема можно использовать двухвыборочный тест по критерию достоверности Стьюдента t.

Двухвыборочный тест по критерию достоверности Стьюдента

В первую очередь требуется вычислить средние значения показателя по каждой выборке () и величины их стандартных ошибок (). Для выполнения расчетов можно использовать MS Excel. Данные по каждому сравниваемому варианту следует ввести в два столбца. С помощью надстройки «Анализ данных» и функции «Описательная статистика» выполнить обработку отдельно каждого столбца.

Затем нужно рассчитать критерий Стьюдента t_факт по формуле:

Найденное значение t_факт сравнивают с его теоретическим значением, взятым из таблицы 2 соответственно числу степеней свободы. Число степеней свободы для двух выборок находят по выражению:

n = n₁ + n₂ – 2.

Если t_факт ³ t_теор, то разница между двумя средними достоверна. Когда t_факт < t_теор между сравниваемыми величинами достоверной разницы нет.

Например, имеются данные о содержании гумуса в почве по первому туру обследования (%): 7,6; 7,2; 8,1; 7,7; 7,3; 7,8 (n₁ = 6) и по последнему: 5,4; 5,1; 4,8; 5,1; 4,6; 5,6; 5,2; 4,7; 5,0; 5,5; 4,9; 4,5; 4,7; 5,3; 5,0; 4,8; 4,6 (n₂ = 17). Нужно сравнить эти данные для того, чтобы сделать вывод об изменении содержания гумуса в почве. Объемы сравниваемых рядов данных различны, следовательно, оценку достоверности различий между ними целесообразно провести по t -критерию. Для этого в MS Excel проводим вычисление и . Получаем, что = 7,6 и = 0,14, а = 5,0 и = 0,08. Затем вычисляем значение критерия t_факт:

25.

,

,

,

,

,

,

,

=

=

+

-

=

факт

t

Для нахождения t_теор сначала вычисляем число степеней свободы:

n = 6 + 17 – 2 = 21.

По числу степеней свободы в таблице 2 находим значение t_теор. Оно равно 2,07.

Сравним t_факт с t_теор: 16,25 > 2,07.

Вывод: < , то есть количество гумуса уменьшилось (на 2,6%); t_факт > t_теор, следовательно, снижение содержания гумуса статистически достоверно.

Двухвыборочный тест по критерию достоверности Стьюдента t можно применять при любом количестве сравниваемых выборок, выполняя вычисления t_факт для каждой сравниваемой пары.

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ (однофакторный) удобно применять для сравнения нескольких выборок с одинаковым числом данных. Вычисления могут быть выполнены в MS Excel или любом математическом пакете. Однако, удобнее дисперсионный анализ выполнять с помощью российского программного обеспечения, например, программ Snedecor, «Статистика» (доступны на диске в разделе Программное обеспечение) или «Дисперсионный анализ», так как они вычисляют не только критерий достоверности Фишера F, но и наименьшую существенную разность (НСР), более удобную в использовании.

Для того, чтобы установить достоверность различий между выборочными средними по критерию достоверности Фишера, его фактическое значение F_факт сравнивают с теоретическим F_теор, которое берут в соответствующей таблице (находится в приложениях большинства учебных пособий по статистике). Если F _факт ³ F _теор, то среди сравниваемых выборочных средних есть хотя бы одна пара, имеющая достоверные различия. При этом невозможно сразу установить какие именно средние достоверно различаются.

Если продолжить вычисления, то можно получить второй критерий достоверности в дисперсионном анализе – НСР. Этот критерий измеряется в тех же единицах, что и анализируемый показатель, и представляет собой минимальное абсолютное значение разницы между выборочными средними, являющейся статистически достоверной.

Например, в результате дисперсионного анализа данных четырех выборок найдено значение НСР ₀₅ равное 2,2. Величины выборочных средних: 1 – 10,1; 2 – 11,3; 3 – 13,0; 4 – 15,6. Находим разности между средними (по модулю) и сравниваем их с НСР:

а) между 1 и 2: |10,1 – 11,3| = 1,2 – это меньше НСР (2,2) – разница между данными первой и второй выборок недостоверна;

б) между 1 и 3: |10,1 – 13,0| = 2,9 – это больше НСР, значит разница достоверна;

в) между 1 и 4: |10,1 – 15,6| = 5,4 – это больше НСР, значит разница достоверна;

г) между 2 и 3: |11,3 – 13,0| = 1,7 – это меньше НСР, значит разница недостоверна;

д) между 2 и 4: |11,3 – 15,6| = 4,3 – это больше НСР, значит разница достоверна;

е) между 3 и 4: |13,0 – 15,6| = 2,6 – это больше НСР, значит разница достоверна.

Выводы:

1) Наименьшее значение показателя свойственно выборкам 1 и 2 (между собой они не различаются);

2) Наибольшее значение показателя имеет выборка 4.

Задание 3. Выполните необходимые вычисления и сделайте выводы о различиях между выборками.

Для вычислений с применением двухвыборочного теста по критерию t Стьюдента используйте MS Excel.

Для дисперсионного анализа данных используйте программу Snedecor. Нужный размер таблицы задается через меню «Массив данных» командой «Ввести новый массив с клавиатуры». Выборки рассматриваются как варианты, а количество данных в выборке – как повторности. Для выполнения расчетов используют команду «Результаты на дисплей» меню «Операции». В окне «Параметры анализа данных» при необходимости можно изменить уровень значимости, понизив или повысив его.

Помимо обычного однофакторного дисперсионного анализа программа может выполнять неравночисленный дисперсионный анализ, а также восстановление выпавших данных в выборках.

Калькулятор

3.1а.

Выборки	Значения
	26,8	22,5	19,6	18,5	20,9	16,5	19,2	15,2
	24,2	25,6	29,9	17,3	22,4	18,6	20,7	18,6
	28,0	15,6	24,3	22,3	27,7	20,1	19,7	36,7
	28,3	17,4	23,6	18,1	32,3	33,7	19,0	34,3

3.1б.

Выборки	Значения
	26,8	22,5	19,6	18,5
	24,2	25,6	29,9	17,3	22,4	18,6	20,7	18,6
	28,0	15,6	24,3	22,3	27,7	20,1
	28,3	17,4	23,6	18,1	32,3

3.2а.

Выборки	Значения

3.2б.

Выборки	Значения

3.3а.

Выборки	Значения
	4,40	4,62	4,57	4,79	4,60
	4,77	4,83	4,56	4,75	4,86
	4,04	4,16	4,10	4,31	4,37
	4,11	3,89	4,07	4,18	4,01

3.3б.

Выборки	Значения
	4,40	4,62	4,57	4,79
	4,77	4,83	4,56
	4,04	4,16	4,10	4,31	4,37
	4,11	3,89	4,07	4,18

3.4а.

Выборки	Значения
	31,9	28,9	30,7	30,6	32,2	33,9	35,2	30,7	31,4	32,6	34,2
	33,9	31,6	35,4	35,2	32,0	33,8	35,0	34,1	33,2	35,1	32,8
	32,0	27,8	28,1	27,9	27,1	25,9	25,1	26,3	26,0	27,8	26,5
	31,6	35,4	30,7	32,2	29,6	30,6	31,8	30,5	31,0	30,9	31,5

3.4б.

Выборки	Значения
	31,9	28,9	30,7	30,6	32,2	33,9	35,2
	33,9	31,6	35,4	35,2	32,0
	32,0	27,8	28,1	27,9	27,1	25,9
	31,6	35,4	30,7	32,2	29,6	30,6	31,8	30,5

3.5а.

Выборки	Значения
	12,44	11,46	11,27	13,54	13,19
	13,49	13,69	13,62	14,92	14,34
	12,03	10,98	11,15	10,75	11,24
	10,10	11,23	11,75	10,34	10,31

3.5б.

Выборки	Значения
	12,44	11,46	11,27	13,54
	13,49	13,69	13,62	14,92	14,34
	12,03	10,98	11,15
	10,10	11,23	11,75	10,34	10,31

3.6а.

Выборки	Значения
	27,7	20,1	19,7	36,7	28,0	15,6	24,3	22,3
	18,6	20,7	18,6	17,3	22,4	24,2	25,6	29,9
	15,9	16,5	19,2	15,2	16,8	15,5	19,6	18,5
	23,1	22,7	20,9	23,4	22,6	21,8	22,1	23,2

3.6б.

Выборки	Значения
	27,7	20,1	19,7	36,7	28,0
	18,6	20,7	18,6	17,3	22,4	24,2	25,6
	15,9	16,5	19,2	15,2	16,8	15,5
	23,1	22,7	20,9	23,4	22,6	21,8	22,1	23,2

3.7а.

Выборки	Значения
	0,67	1,30	0,84	0,99	0,68	0,74	0,53	1,26	1,08	1,14	1,00
	0,36	0,54	0,29	0,38	0,47	0,22	0,36	0,41	0,52	0,33	0,48
	1,11	1,26	1,52	1,28	1,34	1,25	1,09	1,37	1,10	1,21	1,34
	0,91	0,69	0,82	0,76	0,88	0,90	0,86	0,83	0,78	0,91	0,85

3.7б.

Выборки	Значения
	0,67	1,30	0,84	0,99	0,68	0,74	0,53	1,26	1,08	1,14
	0,36	0,54	0,29	0,38	0,47	0,22	0,36	0,41
	1,11	1,26	1,52	1,28	1,34	1,25	1,09	1,37	1,10
	0,91	0,69	0,82	0,76	0,88	0,90	0,86

3.8а.

Выборки	Значения
	63,8	61,5	69,3	66,4	64,8
	54,2	56,0	53,9	55,7	54,8
	62,0	63,1	63,6	61,8	62,5
	69,3	71,4	70,6	68,8	71,7

3.8б.

Выборки	Значения
	63,8	61,5	69,3	66,4
	54,2	56,0	53,9	55,7	54,8
	62,0	63,1	63,6
	69,3	71,4	70,6	68,8

3.9а.

Выборки	Значения
	77,7	70,7	79,7	36,7	78,0	75,6	74,3	77,3
	77,3	73,7	79,0	74,3	78,3	77,4	73,6	78,7
	67,0	77,6	68,7	76,8	77,3	78,7	70,9	66,5
	70,9	76,5	79,7	75,7	76,8	77,5	79,6	78,5

3.9б.

Выборки	Значения
	77,7	70,7	79,7	36,7	78,0
	77,3	73,7	79,0	74,3	78,3	77,4	73,6
	67,0	77,6	68,7	76,8	77,3	78,7
	70,9	76,5	79,7	75,7	76,8	77,5	79,6	78,5

3.10а.

Выборки	Значения

3.10б.

Выборки	Значения

3.11а.

Выборки	Значения
	6,06	6,12	6,10	6,21	6,29	6,37	6,11
	6,11	6,89	6,07	6,18	6,28	6,31	6,40
	6,60	6,62	6,57	6,79	6,74	6,60	6,81
	6,97	6,83	6,56	6,75	7,04	6,86	7,14

3.11б.

Выборки	Значения
	6,06	6,12	6,10	6,21
	6,11	6,89	6,07	6,18	6,28
	6,60	6,62	6,57	6,79	6,74	6,60
	6,97	6,83	6,56	6,75	7,04	6,86	7,14

3.12а.

Выборки	Значения
	30,6	31,8	30,5	29,5	28,8	31,6	35,4	30,7	32,2	29,6	34,8
	32,0	37,8	28,1	27,9	37,1	35,9	36,5	34,9	37,0	35,3	36,2
	31,9	28,9	30,7	30,6	32,2	33,9	35,2	31,2	34,5	34,8	33,5
	38,4	40,0	35,2	42,0	37,6	39,9	41,6	38,4	41,1	40,8	40,0

3.12б.

Выборки	Значения
	30,6	31,8	30,5	29,5	28,8	31,6
	32,0	37,8	28,1	27,9	37,1	35,9	36,5	34,9
	31,9	28,9	30,7	30,6	32,2	33,9	35,2	31,2	34,5	34,8
	38,4	40,0	35,2	42,0	37,6	39,9	41,6	38,4	41,1

Дата добавления: 2015-08-31