Сумовні функції та простір Лебега

В цьому параграфі ми завершимо побудову інтегралу, продовживши його з класу на деякий більш ширший клас , в якому вже можна буде проводити всі звичні для функцій операції.

Сумовною (або інтегровною за Лебегом) функцією будемо називати довільну функцію яка може бути представлена як різниця двох функцій із класу .

Сукупність всіх сумовних функцій позначимо через В класі сумовних функцій можна проводити наступні операції:

а) додавання.

Якщо i сумовні функції; - функцій класу , то ,І так як , то є функцією класу .

б) множення на будь-яке дійсне число .

Якщо ; то із , випливає, що , , ,і, відповідно, ;

Якщо , то і рівність. показує, що знову належать класу .

Із а) і б) випливає, що будь-які лінійні комбінації функцій класу є також функціями класу .

в) Взяття модуля функції.

Нехай , , , тоді i також належать класу ; звідси , належать класу . Розв’язуючи рівняння , .

Ми бачимо, що функції i також належать класу разом з функцією .

Далі рівності , показують, що разом з функціями i в клас входять їх максимум та мінімум.

Введемо тепер в клас означення інтегралу. Для цього, маючи розклад (1)

покладемо

При цьому визначається єдиним способом. Справді, нехай поряд з розкладом (1) ми маємо і інший розклад , ,

Доведемо, що . Ця рівність еквівалентна рівності (*). Оскільки , то в силу єдиності інтеграла в класі ми маємо: , звідки і випливає (*).

Надалі покажемо, що отриманий інтеграл володіє в класі звичайними лінійними властивостями.

Нехай , де належить класу . Тоді , і, згідно з означенням, .

Таким чином, інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів. Далі, при ; з іншого боку, і, отже, при ми маємо ; цим самим ми,фактично, довели, що число можна виносити за знак інтегралу. При будь-якому знаку .

Зазначимо, що якщо , , то . Справді, якщо , , i , то та , тому .Звідси отримаємо, що із випливає . Тепер доведемо важливу теорему про почленне інтегрування рядів з додатними доданками.

Теорема 3.1. (Беппо Леві, 1906). Якщо для ряду , ,

Інтеграли від частинних сум обмежені тобто , то є сумовною функцією, і .

Доведення. Спершу зазначимо, що в розкладі сумовної функції , , , функції i можна підпорядковувати подальшим умовам. Наприклад, можна вибрати завжди так, щоб мати , задане число як завгодно мале. Для цього потрібно розглянути послідовність східчастих функцій так, що і потім написати .

Очевидно, що при достатньо великому , умова, яка вимагається для функції виконується. Замітимо при цьому, що якщо то і функція також отримується невід’ємною. Тепер для кожної із функцій які беруть участь у формулюванні теореми, побудуємо розклад , де , ( При цьому ряд задовольняє умови наслідку із теореми §2 (, . Тому належить до класу та . Покажемо, що і ряд також задовольняє умови цього наслідку; дійсно, ми маємо і . Тому і належить класу і . Звідси належить класу L та .

Цим самим ми довели нашу теорему 3.1.

Наслідок. Якщо сумовні функції , монотонно зростаючи, прямують до та то сумовна функція і .

Для доведення досить покласти і застосувати теорему 3. Аналогічний результат справедливий, зрозуміло, і для спадних послідовностей , якщо тільки .

Надалі ми будемо розглядати довільні (немонотонні) граничні переходи. Класичні приклади показують, що не можна очікувати теореми вигляду “ із того, що випливає ” без додатних припущень про характер збіжності послідовності до свої границі. Наприклад, функції збігаються до нуля при будь-якому , в той час як інтеграли від них залишаються сталими (рівними 2) і не прямують до інтегралу від граничної функції.

Розглянемо сукупність L всіх сумовних функцій , які задовольняють нерівність

,

де - фіксована невід’ємна сумовна функція. Очевидно, що для будь-якої функції L виконується нерівність .

Якщо є монотонна послідовність функцій - спадна або зростаюча, - які належать сукупності L , то гранична функція , зрозуміло, задовольняє нерівність разом з функціями ; ця функція, згідно наслідку 2, є сумовною. Отже, сукупність L замкнена відносно монотонних граничних переходів.

Замітимо, що для будь-якої послідовності L можна стверджувати, що функції та

Також належать сукупності L : перша з них являється границею при зростаючої послідовності функцій L , а інша – границею спадною послідовності функцій L .

Нехай тепер L довільна послідовність, яка збігається майже скрізь до деякої функції ; покажемо, що також належить класу L . Досить показати, що представлена у вигляді границі деякої монотонної послідовності функцій із класу L . Покладемо

,

.

За доведеним, ці функції сумовні і належать класу L . Якщо розглянути тільки ті значення , де функції мають границю , то oчевидно, що при будь-якому такому значенні ,

Отже, спадаюча а зростаюча послідовності. Далі, зрозуміло, що із того, що випливає, що i Таким чином функція виявляється границею зростаючої послідовності функцій класу L (і одночасно границею спадної послідовності цього класу). Звідси L , що й стверджувалось. При цьому ми маємо, що , i звідки .

Цим самим ми довели наступну теорему:

Теорема 3.2. (Лебег, 1902). Якщо послідовність сумовних функцій збіжна майже скрізь до функції і задовольняє умову: то сумовна функція та .

Взагалі кажучи, рівність справедлива, якщо функції обмежені в сукупності.

З цієї теореми ми можемо отримати важливий результат відносно складу класу L .

Теорема 3.3. Якщо деяка вимірна функція задовольняє (майже скрізь) нерівність , то вона сумовна (і цим самим належить до класу ).

Доведення. Нехай послідовність східчастих функцій, яка визначає вимірну функцію . Обрізуючи її зверху по рівню і знизу по рівню , тобто замінюючи її функцією ми отримаєм послідовність сумовних функцій, які належать класу , збіжну майже скрізь до функції . Отже, є сумовною функцією, що і вимагалось.

Взагалі кажучи, довільна обмежена вимірна функція сумовна.

З іншого боку, доведена нами теорема про сумовні функції дозволяє зробити подальші зауваження про вимірні функції. Покажемо, що границя збіжної майже скрізь послідовності вимірних функцій якщо вона скінченна майже скрізь – є вимірною функцією. Достатньо розглянути випадок , оскільки в противному випадку можна окремо розглянути послідовності i . Але, якщо майже скрізь збігається до , то також майже скрізь послідовність функцій збігається до .

Функції знаходяться між нулем і одиницею і вимірні. Тому вони сумовні, а їх границя доведеним, - також сумовна і, отже, вимірна функція.

Зауважимо, що може приймати значення нуль тільки там, де тобто на множині міри нуль. Тому, перетворюючи отриману рівність, знайдемо, що і є вимірною функцією, оскільки чисельник і знаменник отриманого відношення вимірні і знаменник майже скрізь відмінний від нуля.

В одному випадку можна стверджувати сумовність граничної функції послідовності , замінивши припущення про обмеженості функцій сумовної функції деяким іншим припущеннями:

Лема. Фату (1906). Якщо - сумовні функції, майже скрізь і , сумовна функція і .

Доведення. Покладемо . Так як і вище, функції утворюють зростаючу послідовність, збіжну майже скрізь до функції . Далі, , ; в силу теореми Беппо Леві функція - сумовна і Взагалі кажучи, що і потрібно було довести.

Нехай функція сумовна та ; покажемо, що майже скрізь. Покажемо що ; функція прямує до границі , рівний нулеві там, де рівна нулеві і безмежності там, де . Але, так, як, за лемою Фату, гранична функція повинна бути сумовною, взагалі кажучи, вимірною, то множина тих де є множиною міри нуль. Разом з тим і множина тих , є множиною міри нуль. Ми отримаємо:

якщо невід’ємної сумовної функції інтеграл рівний нулеві, то ця функція сама майже скрізь рівна нулеві.

Перейдемо до класів еквівалентних функцій: дві функції вважаються еквівалентними, якщо вони збігаються на множині повної міри. Зокрема, що найбільше на множині міри нуль. Функції, еквівалентні нулю, відображають, очевидно, підпростір в лінійний простір L всіх сумовних функцій.

У просторі L введемо переднорму

(1)

Справді, число невід’ємне, причому рівне нулеві тільки для функції, майже скрізь рівній нулеві, далі мають місце співвідношення:

,

Підпростір складається із тих і тільки тих функцій, які переднорма рівна нулю. І тому в класів еквівалентних сумовних функцій можна ввести норму, яка рівна , де довільна функція із цього класу. Отже, ми отримаєм лінійний нормований простір, класів еквівалентних сумовних функцій, який будем називати простором Лебега.

Теорема 3.4. (Е.Фішер, Ф. Рір, 1907). Простір Лебега – є баноховим простором.

Перш ніж переходити до доведення цього твердження, зауважимо що: по-перше, елементи будь-якої фундаментальної послідовності обмежені за нормою, оскільки, починаючи з деякого номера, всі ці елементи містяться в кулі радіуса з центром в деякій точці ; по-друге, для доведення існування границі фундаментальної послідовності достатньо показати, що існує границя деякої послідовності ; цей елемент буде границею і всієї послідовності в силу нерівності причому другий доданок справа прямує до нуля в силу фундаментальної послідовності .

Тепер перейдемо до доведення теореми.

Доведення. Нехай фундаментальна послідовність у просторі L. Завжди можна вибрати послідовність індексів так, щоб при виконувались нерівності: (k=1,2,…,). Взагалі кажучи, ; це означає, що .

Але тоді ряд сумовних функцій згідно з теореми Беппо Леві, збігається майже скрізь. Звідси слідує, що збігається майже скрізь і ряд з частинними сумами . Це означає існування границі майже скрізь при у функції . Позначимо цю границю через . Функція вимірна як границя вимірних функцій. Так як норми функцій , тобто числа обмежені, то, за лемою Фату, функція сумовна. Отже, сумовна і вимірна функція . Далі, за тією ж лемою, застосованої до функції , ми маємо:

Але останній інтеграл за умовою може бути, при достатньо великому , як завгодно малим. Отже, збігається до за нормою простору L, і теорему доведено.

На завершення покажемо, що простір L є поповненням простору неперервних функцій на відрізку з метрикою:

Простір містить простір як підпростір з тією ж метрикою. Тому нам достатньо показати, що міститься в L як щільна підмножина, так що кожну функцію L можна представити як границю послідовності функцій . Легко переконатися, що кожна східчаста функція володіє цією властивістю. З іншого боку, оскільки кожна функція L є різницею двох функцій із класу , досить перевірити наше твердження для функцій із класу . Нехай належить і послідовність східчастих функцій. Тоді і так як то за теоремою Беппо Леві ,

що і потрібно було встановити.

Література

1. Г.Е.Шилов, Математический анализ, Специальный курс; Физматгиз 1961, с.137-158.

2. Лекції з функціонального аналізу: Ч.1. метричні і нормовані простори: навч. посібник./ укл.: В.К.Маслюченко. - Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2010.-184с.

3. Лекції з теорії міри та інтеграла: Ч.1. Міра: навч. посібник./ В.К.Маслюченко.-Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2011.-156с.

4. Лекції з теорії міри та інтеграла: Ч.2. Інтеграл: навч. посібник./ В.К.Маслюченко.-Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2011.-176с.

Дата добавления: 2015-08-31