Анізотропія пружних властивостей

РОЗДІЛ 3

3.1 Пружні властивої діелектричних анізотропних кристалів

Дослідження розсіювання Мандельштама-Бріллюена в кристалах із ме­тою вивчення їх пружних і фотопружних властивостей вийшло на перший план завдяки створенню лазерів. Результати одержуються при частотах порядка 10ГГц, що дозволяє вивче­ння дисперсії. Вимірювання інтенсивності спектральних ліній дозволяють розраховувати пружньооптичні константи. Проте, необхідність використа­ння прозорих матеріалів обмежує застосування методу.

При розгляді умов поширення плоских об’ємних бігучих акустичних хвиль в діелектричних кристалах необхідно вияснити, як залежать від напрямку поширення в кристалі їх поляризація і швидкість розповсю­дження. Оскільки довжини акустичних хвиль значно більші міжатомних відстаней, кристал розглядається як суцільне пружне анізотропне безмежне середовище. Опис руху малих елементів об’єму такого середовища ведеться в кристалографічній системі координат. Для кожного класу симетрії між­народними угодами визначено розміщення елементів симетрії кристала, що належить до певного класу, в цій системі координат. Рівняння руху малого об’єму кристалу:

ρ = ƒ­­­_i = (3.1)

де ρ – густина, u_i – компоненти вектора зміщення, ƒ_i – компоненти об’­ємних пружних сил, що діють на даний елемент об’єму, – компоненти тензора пружних напруг на границях цього виділеного елемента. В кожно­му реальному кристалі існують неоднорідні залишкові напруги. Уявімо собі рівноважний стан кристала, в якому відсутні напруги і різниця температур. Розглянемо відхилення від такого положення, пов’язане із зміщенням його елементів u_i і зміною їх температури T від рівноважної температури T. Термодинаміка встановлює наступні залежності:

ukl - T

(3.2)

S = - T/T

(3.3)

Де – компоненти тензора пружних постійних, u_kl – компоненти тензора малих деформацій, С_V – теплоємність, – компоненти тензора коефіці­єнтів термічних напруг, S – зміна ентропії елемента об’єму. Розповсю­дження акустичних об’ємних хвиль в кристалі з великою точністю можна вважати адіабатичним аж до гіперзвукових частот. Справа в тому, що періо­дичні зміни температури, що пов’язані з коливаннями напруг і деформацій в акустичній хвилі, впливають лише на відстанях, значно менших довжини хвилі. При цьому зміною ентропії можна знехтувати, тоді:

T = ^—

(3.4)

Напруги при адіабатичних коливаннях:

=

(3.5)

пов’язані з деформаціями адіабатичними пружними постійними. Підставляючи (3.2) в (3.1), отримаємо хвильові рівняння:

ρ =

(3.6)

яким задовольняють розв’язки у виді бігучих плоских хвиль

ul = Apl Apl

(3.7)

де А — амплітуда коливань, р_і — компоненти одиничного вектора по­ляризації, — циклічна частота, к_р — компоненти хвильового вектора, β = t — к_рх_р. Підставляючи (3.7) в (3.6), отримаємо систему характеристи­чних рівнянь:

𝜌 =

(3.8)

де = — компоненти симетричного тензора Крістофеля. Якщо помножити кожне з рівнянь системи (3.8) на і, враховуючи, що = 1 додати їх, отримаємо дисперсійне рівняння:

(3.9)

яке визначає лінійну залежність між р і для акустичних пружних хвиль в діелектричних кристалах. Із цього слідує, що фазова швидкість пружних хвиль в даному наближенні суцільного анізотропного середовища не зале­жить від частоти, тобто в кристалах відсутня дисперсія фазової швидкості об’ємних хвиль. Звідси фазова швидкість розповсюдження плоскої бігучої хвилі поляризації р в напрямку визначається з (3.9):

(3.10)

Проте, перш ніж користуватися цим виразом для розрахунків, треба ви­яснити, які види поляризації пружних хвиль можуть поширюватися в кри­сталі в напрямку . Система рівнянь (3.8), при заданому напрямку і відо­мих кристала, являється системою рівнянь для визначення компонент вектора поляризації. Використовуючи символ Кронекера, її можна предста­вити у виді

(3.11)

де G = ρV² — являється власним значенням, а вектор — власним векто­ром тензора Крістофеля. Умовою нетривіального розв’язку системи (3.11) являється рівність нулю її детермінанта:

det| | = 0

(3.12)

Він має три корні , які в загальному випадку різні. Оскільки є симетричний тензор з дійсними компонентами, то його власні значення та­кож дійсні, а відповідні їм власні вектори поляризації взаємно ортогональні. Таким чином, в загальному випадку в заданому напрямку в кристалі мо­жуть розповсюджуватися три плоскі лінійно-поляризовані пружні хвилі з взаємно-ортогональними поляризаціями, що мають різні швидкості.

Дата добавления: 2015-08-31