Мощность, переносимая модой по диэлектрическому планарному волноводу

2.7.1. Переносимая мощность. Выражения для полей, направляемых пленкой Н - и Е - мод (2.17), (2.20) позволяют определить среднюю мощность, переносимую отдельной модой вдоль оси Z на единичную ширину в направлении Y (см. рис. 2.1,б).

Задание: получить последовательно(2.47) – (2.50).

В частности для Н-мод с учетом (2.6,а)

(2.47)

где – комплексный вектор Пойнтинга; ( единичный орт оси Z).

Подставляя в (2.34) выражения для из (2.17), находим

(2.48)

Для Е- мод с учетом (2.6)

(2.49)

Подставляя в (2.49) выражение для из (2.20), находим

. (2.50)

2.7.2. Соотношения ортогональности направляемых мод. Учитывая (2.47), (2.49) можно показать, что для Н - мод имеет место соотношение

, (2.51)

где – индексы двух различных мод; – символ Кронекера, который равен нулю для и единице для .

Из (2.51) следует, что при левая часть равна мощности, переносимой вдоль пленочного волновода (с единичной шириной вдоль направления Y) модой ; при правая часть равна нулю. Физическая суть этого в том, что различные моды в процессе распространения не обмениваются энергией (не взаимодействуют).

Соответственно для Е-мод

. (2.52)

Соотношение (2.51), (2.52) представляют собой так называемые соотношения ортогональности между двумя модами в диэлектрическом волноводе без потерь.

Задание: получить (2.51) или (2.52).

2.8. Затухание в диэлектрическом волноводе.

Анализ Н- и Е-мод в планарном диэлектрическом волноводе проводился в предположении, что диэлектрик является идеальным (без потерь). При этом в режиме направляемых поверхностных мод (волноводных мод), определяемом условием (2.28), коэффициент распространения – действительная величина. Наличие диэлектрических или магнитных потерь в материале диэлектрического волновода (подложки, покрытия) вызовет преобразование части электромагнитной энергии, переносимой волной, в тепловую энергию. Можно предположить, что для планарного диэлектрического волновода с потерями за счет конечной проводимости диэлектрических сред зависимость полей от координаты Z имеет формально тот же вид, что и для случая без потерь (2.4). Однако при этом является комплексной величиной: . Поэтому любая составляющая поля в соответствии с (2.4) будет изменяться по закону , где – величина, характеризующая убывание произвольной составляющей электромагнитной волны вдоль оси Z ( –коэффициент затухания, –коэффициент фазы).

Так как средняя мощность Р (2.48), (2.50) пропорциональна квадрату амплитуды поля, то , где Р₀ – средняя за период мощность в сечении z=0 диэлектрического волновода.

Разность между мощностями в сечении z и равна мощности потерь на отрезке волновода длиной : . Разделив обе части равенства на и устремив к нулю, найдем значение мощности тепловых потерь, приходящееся на единицу длины:

, откуда , (2.53)

где – коэффициент затухания, 1/м.

Мощность Р, переносимая вдоль планарного диэлектрического волновода с Н- и Е-модами, определяется соотношениями (2.47) – (2.49). Средняя за период мощность тепловых потерь находится из выражения

, (2.54)

где интегрирование ведется по всему объему, заполненному диэлектриком с потерями, при единичной длине в направлении Y, при этом в зависимости от области подставляется соответствующее значение (i=1,2,3).

Задание: пояснить формулу (2.54), используя уравнение баланса для средней за период мощности (см. например, [3], [4]).

В заключение отметим следующие три обстоятельства. Во-первых, поскольку определяется отношением к мощности Р, переносимой вдоль планарного диэлектрического волновода, то интегрирование выражений (2.49), (2.50), (2.54) по переменной y можно производить не в бесконечных пределах, а по отрезку единичной длины. Во-вторых, при вычислении и Рпредполагается, что структура Н- и Е-мод в диэлектрическом волноводе приблизительно совпадает со структурой этих волн в среде без потерь. В-третьих, если исследуется диэлектрическая пластина на металлический подложке (см. рис.2.17), то необходимо учитывать среднюю мощность тепловых потерь в металле, которая рассчитывается аналогично случаю металлических волноводов:

, (2.55)

где – касательная составляющая магнитного поля на металлической поверхности; – удельное поверхностное сопротивление металла, Ом ( - проводимость металла). Подставляя в формулу (2.47), (2.49), (2.54) выражения для соответствующих компонент Н- или Е-мод (2.17), (2.20) или (2.29), находим выражение для коэффициента затухания (2.53) в диэлектрическом планарном волноводе. Очевидно, что при конкретных расчетах необходимо сначала определить волновые числа h, p, q (р, h) с помощью численных методов (см. разд.3).

Дата добавления: 2015-08-31