Корреляционный и регрессионный анализы

ВВЕДЕНИЕ

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение 4

1. Тема №1. Корреляционный и регрессионный анализы 4

2. Тема №2. Статистические характеристики количественной и качественной изменчивости 8

3. Тема №3. Статистические методы проверки нулевой гипотезы 13

4. Тема №4. Дисперсионный анализ однофакторного исследования 17

Приложение 23

Библиографический список 26

Варианты задач к темам №1, 2, 3, 4. 27

В настоящее время наблюдается все возрастающий интерес к использованию математической статистики представителями самых различных отраслей науки. Статистические методы находят широкое применение в планировании экспериментов и обследований в сельском хозяйстве, при оценке параметров и проверке гипотез, при принятии решений и изучении сложных систем.

Знание современных статистических методов необходимо не только для обработки полученных в опыте данных, когда многое уже нельзя исправить, но и на всех этапах эксперимента – от планирования до обработки полученных величин.

В каждом анализе большое значение придается последовательности ведения расчетов необходимых статистических характеристик.

Т Е М А №1

В исследованиях редко приходится иметь дело с точными и определенными функциональными связями, когда каждому значению одной величины соответствует строго определенное значение другой величины. Здесь чаще встречаются такие соотношения между переменными, когда каждому значению признака Х соответствует не одно, а множество возможных значений признака Y, т.е. их распределение. Такие связи, обнаруживаемые лишь при массовом изучении признаков, в отличие от функциональных называются стохастическими (вероятностными) или корреляционными.

При изучении корреляционных связей возникают два основных вопроса – о тесноте связи и о форме связи. Для измерения тесноты и формы связи используют специальные статистические методы, называемые корреляцией и регрессией.

Корреляция - это тенденция двух переменных к определенно вы­раженной зависимости между ними (например: изучить зависимость кислотности воды (X) от количества содержания кальция (Y) в родниковых водах Чарышского района).

По форме корреляция может быть линейной или криволинейной, по направлению - прямой или обратной. Корреляцию и регрессию называют простой, если исследуется связь между двумя признаками, и множественной, когда изучается зависимость между тремя и более признаками. Числовым показателем простой линейной корреляции яв­ляется коэффициент корреляции r, указывающий на тесноту и на­правление взаимосвязи между изучаемыми признаками X и У. Он является безразмерной величиной и изменяется в пределах от -1 до + 1. Если r < 0,3, то линейная зависимость между признаками сла­бая или отсутствует (но криволинейная связь может существовать), при значениях r = 0,3 - 0,7 взаимосвязь признается средней по тес­ноте, а при r>0,7 между признаками существует тесная линейная зависимость. Если коэффициент корреляции положительный, то зависимость между признаками прямая, если r со знаком минус, связь обратная. Коэффициент корреляции рассчитывают по формуле:

где: r – коэффициент корреляции; X и Y - изучаемые признаки; и среднее значение X и Y.

Коэффициент детерминации d_xy показывает долю тех измене­ний, которые зависят от изучаемого фактора и рассчитывается по формуле:

d_xy = r²×100%

Для оценки надежности выборочного коэффициента корреляции

вычисляют его ошибку

где: r² – коэффициент корреляции в квадрате, n – общее число степеней свободы (число показателей X).

По вычисленным значениям r и S_r определяют критерий существенности коэффициента корреляции:

где: t_ф –фактическое значение критерия сущности (фактический критерий Стъюдента); r – коэффициент корреляции; S_r – ошибка коэффициента корреляции.

Фактическое значение t_r сравнивается с теоретическим значением (t_теор), который находится по таблице Стьюдента при уровне вероятности 95% (приложение 1). Число степеней свободы принимается n-2. При t_r> t_теор корреляционная связь существенна, при t_r< t_теор – несущественна.

Если корреляция указывает факт наличия линейной связи и сте­пень ее близости, то регрессия определяет форму этой взаимосвязи. Для этого определяют коэффициент регрессии B_ух, который показы­вает, в каком направлении и на какую величину изменяется функция У при изменении аргумента X на единицу измерения. Коэффициент регрессии рассчитывается по формулам:

или

Под регрессией понимается изменение результативного признака Y (функции) при определенном изменении одного или нескольких факториальных (аргументов).

Ошибка коэффициента регрессии рассчитывается по формуле:

Критерий существенности регрессии:

Методика решения задачи

на тему: «Корреляции и регрессия»

Пример: Провести корреляционный и регрессионный анализ гидравлических элементов потока и расходы наносов при гладкой форме их движения (расход воды (л/с) (X)) и (глубина воды в лотке осредненная по длине потока - h (см) (Y)). (Люберецкий песрк)

Для вычислений составляется таблица вспомогательных величин:

Таблица

Таблица вспомогательных величин

N/N	Значение признаков	Отклонение	Квадраты отклонений	Произведение отклонений
X	Y
	11,0	6,5	-48,6	-8,7	2361,96	75,69	422,82
	28,0	9,0	-31,6	-6,2	998,56	38,44	195,92
	46,0	12,6	-13,6	-2,6	184,96	6,76	35,36
	48,0	14,0	-11,6	-1,2	134,56	1,44	13,92
	65,0	13,5	5,4	-1,7	29,16	2,89	-9,18
	71,5	18,5	11,9	3,3	141,61	10,89	39,27
	77,5	17,8	17,9	2,6	320,41	6,76	46,54
	80,0	19,8	20,4	4,6	416,16	21,16	93,84
	83,0	21,5	23,4	6,3	547,56	39,69	147,42
	86,0	18,5	26,4	3,3	696,96	10,89	87,12
Сумма ∑		151,7	–	–	5831,9	214,61	1073,03
Среднее значение и	59,6	15,2	-	-	-	-	-

Среднее число кислотности воды = ∑ X: n = 596: 10 = 39459,6 (л/с)

Среднее число содержания кальция = ∑ Y: n = 151,7: 10 = 15,2 (см)

где: n – число сопряженных пар. Используя данные вспомогательной таблицы, рассчитывают коэффициент корреляции:

Стандартная ошибка коэффициента корреляции:

Коэффициент детерминации: d_xy = r²×100% = 0,96² ×100% = 92,16%

Фактическое значение критерия существенности определяют по формуле:

Теоретическое значение t₀₅ для (n-2) степеней свободы берут из таблицы (приложение 1): t₀₅ = 2,31.

Если t_r≥ t_теор, корреляционная связь признается существенной и необходимо определить коэффициент регрессии:

Ошибка коэффициента регрессии:

Критерий существенности регрессии:

На основании полученных данных находим уравнение линейной регрессии:

По уравнению регрессии можно рассчитать средние теоретические значения Y для экстремальных (минимального и максимального) значения X и построить теоретическую линию регрессии (рис.1).

Для X_min = 11(л/с); Y_min = 0,18 × 6,5 + 15,2 = 16,37 (см)

Для X_max = 86,0 (л/с); Y_{max =} 0,18 × 21,5 + 15,2 = 19,07 (см)

Рисунок 1 - Теоретическая линия регрессии зависимости расхода воды (X) от глубины воды в лотке (Y).

Вывод: 1. Между расходом воды и ее глубиной в лотке в существует сильная по тесноте и прямая по направлению взаимосвязь (r = 0,96).

2. В 92,16% случаев (из 100) расход воды обусловен и зависит от глубины воды в лотке, а в 7,84% случаев от других факторов (d_{xy =} 92,16%).

Т Е М А №2

Дата добавления: 2015-08-31