Оценка существенности разности выборочных средних по t-критерию

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ НУЛЕВОЙ ГИПОТЕЗЫ

Вопрос о статистической проверки гипотез – один из основных при применении математической статистики в научных исследованиях. Статистические методы или критерии проверки гипотез – надежная основа принятия тех или иных решений при некоторых неопределенности, обусловленной случайной вариацией изучаемых явлений. Практически проверка гипотез часто сводится к сравнению статистических характеристик, оценивающих параметры законов распределения, т.е. к проверке определенных статистических гипотез.

Статистическая гипотеза – научное предположение о тех или иных статистических законах распределения случайных величин. Чаще всего задача сводится к проверке гипотезы об отсутствии реального различия между фактическими и теоретически ожидаемыми наблюдениями (Н₀ – нулевая гипотеза). Справедливость нулевой гипотезы проверяется вычислением статистических критериев для определенного уровня значимости. Существует два вида критериев – параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии (t, F, x²) основаны на предположении, что распределение признака подчиняется какому-либо из этих законов. Проверка нулевой гипотезы на основе параметрических критериев сводится к следующему:

- если различия между теоретическим и фактическим значениями критериев равны нулю или находятся в области допустимых значений, то Н₀ не опровергается (т.е. допускается предположение, что существенных различий между вариантами нет);

- если различия между фактическим и теоретическим значениями

критериев превышают допустимую величину, то нулевая гипотеза опровергается. Это значит, что эмпирические данные противоречат предположению об отсутствии различий между вариантами, и поэтому верна другая (альтернативная) гипотеза, а именно, что между вариантами существуют достоверные различия.

При сравнении средних величин необходимо иметь в виду два случая:

1). Сравниваются средние двух независимых выборок (выборки не связаны общими условиями);

2). Сравниваются две сопряженные выборки (варианты связаны, каким-то общим условием).

В первом случае по t-критерию оценивается существенность разницы средних , а во втором – существенность средней разности

А). Первый случай. В теории статистики доказано, что ошибка разности при одинаковом числе наблюдений (n₁ = n₂) определяется как:

где: S_d – ошибка разности;

; - ошибки выборочных средних.

Вывод о существенности или несущественности различий между и можно сделать по отношению этой разности к ее ошибке:

= t_факт. – фактический критерий.

Если t_факт. ≥ t_теор. , то нулевая гипотеза опровергается, если t_{факт. <} t_теор. ,то Н₀ не опровергается, т.е. различия между х₁ и х₂ в пределах допустимых случайных ошибок.

Пример (А): На двух исследуемых участках р. Обь в районе г. Барнаул определялась глубина в 5-кратной повторности (n₁ = n₂ = 5): = 4,89 м и =4,82 м; ошибка выборочной средней для каждого варианта соответственно равна =0,06 и = 0,04. сделать вывод о достоверности различий между вариантами по глубине р. Обь в районе г. Барнаула.

Для определения фактического значения критерия t_факт. необходимо рассчитать разность между вариантами (d) и ошибку разности (S_d):

(1)

(2)

Теоретическое значение критерия Стъюдента t₀₅ для 5%-ного уровня значимости определяют для v = n₁ + n₂ – 2 = 5 + 5 – 2 = 8 (число степеней свободы по таблице (приложение 1):

(3)

t₀₅ = 2,31 ≥ t_факт. =0,97

Вывод: поскольку фактическое значение критерия меньше, чем теоретическое, можно утверждать о том, что различия между вариантами по глубине р. Обь в районе г. Барнаула не достоверны (т.е. варианты различаются несущественно).

Б). Второй случай. В сопряженных выборках оценивается не разность средних , а средняя разность = . Ошибку средней разности находят по формуле:

(4)

Критерий существенности вычисляют алогично первому случаю (формула 1)

Пример (Б). При изучении глубины реки Обь в районах г. Барнаула и Новосибирска получены следующие результаты:

Х – 4,89; 4,89; 4,82; 4,82; 4,82; 5,00; 5,20 (м)

У – 2,58; 2,74; 2,68; 2,82; 2,61; 2,87; 2,87 (м)

Сделать вывод о достоверности различий результатов по изучении глубины реки Обь в различных пунктах исследования.

Таблица 3

Вспомогательная таблица для решения данной задачи

Повторности	Глубина р. Обь (м)	Разность d, %	Квадрат разности, d^2
в районе г. Барнаула	в районе г. Новосибирска
	4,89	2,58	2,31	5,3361
	4,89	2,74	2,15	4,6225
	4,82	2,68	2,14	4,5796
	4,82	2,82	2,00	4,0000
	4,82	2,61	2,21	4,8841
	5,00	2,87	2,13	4,5369
	5,20	2,87	2,33	5,4289
Суммы	34,039	19,17	15,27	33,3881
Средние	4,86	2,74	2,18	-

Среднюю разность определяют как = = 15,27÷7 = 2,18, далее необходимо рассчитать ошибку средней разности :

Определяем фактическое значение критерия t_факт.:

Теоретическое значение критерия для v = n-1 степеней свободы и 5%-ного уровня значимости берем в приложении 1 (t₀₅ = 2,45). Поскольку фактическое значение критерия больше, чем его теоретическое значение, можно сделать заключение о том, что два изучаемых участка по глубине р. Обь отличаются существенно.

Дата добавления: 2015-08-31