Программа курса лекций 1 страница

Правила ИКИ

За каждую сданную задачу на коллоквиуме студент набирает до 2-х баллов. На коллоквиумах можно набрать до 48 баллов. Задача, решенная на контрольной работе, приносит студенту до 5 баллов. На контрольных работах можно набрать до 50 баллов. За работу на лекциях, семинарах, контрольных работах и коллоквиумах можно набрать до 62 баллов (один час участия в работе – 1 балл). Баллы фиксируются преподавателем в общей ведомости, суммируются и учитываются при получении зачета за семестр. Всего можно набрать до 160 баллов. Зачет выставляется за 80 баллов.

1. Введение.

Цель курса. Метод Галилея.

Цель курса - активизировать теоретические основы физики, полученные в школе, научить студента их использовать для решения конкретных задач. Вводится система понятий - “язык” физики и устанавливается между ними взаимосвязь, повторяются и вводятся необходимые понятия элементарной математики и анализа, дается общий метод решения физических задач. Задачи, предлагаемые на занятиях, охватывают основные разделы школьной программы, с расширением и детализацией основных положений, соответствуют программе первого курса ФЕН НГУ.

Метод Галилея (МГ) – совокупность и последовательное выполнение действий, приводящих к решению конкретной задачи, появлению научного результата. Модельный подход при взгляде на окружающий мир и его изучении. От модели физической - к модели математической - системе уравнений, далее к решению, и далее через анализ и сопоставление с экспериментальными данными - к модели физической. Наука (физика) – совокупность предмета (природа) и метода изучения (МГ). Ньютон – первый ученик и первый ученый. Физическая модель. Математическая модель. Опыт. Принцип физический. Аксиоматическое построение Науки. Принципы, постулаты и законы как результат обобщения опыта. Принцип относительности. Принцип Гюйгенса. Принцип эквивалентности. Принцип наименьшего действия. Тождественные преобразования. Теория против эксперимента. Как решать задачи.

«Соображения симметрии». Требование инвариантности относительно сдвига и поворота в симметричном (однородном и изотропном) пространстве-времени.

Освоение МГ - основная причина быстрого развития науки и техники и естествознания в целом за последние 4 века.

Механика и наука физика «вообще» описывают, поясняют природу, мир до основных принципов, постулатов, законов. Почему мир таков, как он есть – вопрос к религии, к Создателю.

Механика - наука о движении тел в пространстве и во времени и возникающих взаимодействиях между ними.

Кинематик а - часть механики, описывающая движение тел без выяснения причин.

Задача-свечка в ускоряющейся электричке.

Основные понятия.

Материальная точка (частица)- тело, малое в данном рассмотрении, по сравнению с масштабами рассматриваемого движения, другими телами.

Твердое тело – совокупность частиц с неизменными расстояниями между ними.

Пространство-Время – категории, обозначающие основные формы существования материи. В современной теории П и В – связаны.

Пространство – определяет порядок существования объектов.

Время – определяет порядок смены явлений.

По Ньютону П и В – абсолютны, не зависят друг от друга, находящихся в них тел и протекающих процессов. Пространство однородно (инвариантно по сдвигу) и изотропно (инвариантно по повороту). Время однородно.

Система отсчета – твердое тело, система координат, часы.

Числовая ось – прямая линия, на которой задано начало отсчета, единица масштаба и положительное направление.

Обозначение: .

Координата точки на числовой оси – расстояние (со знаком) от начала отсчета до точки.

Обозначение: .

Декартова система координат – совокупность трех (двух) взаимно перпендикулярных числовых осей (осей координат) с общим началом отсчета.

Обозначение: .

Координата точки: .

Координату точки получаем, опуская перпендикуляры из точки на оси координат.

Вектор – направленный отрезок. Имеет длину – модуль, и направление. Обозначение: – черта сверху и/либо Ᾱ – жирный шрифт.

,

где - проекции вектора на оси координат, – орты (единичные вектора), направленные вдоль осей координат.

Модуль, длина, вектора:

Алгебра векторов – наука, которая занимается правилами преобразования векторов.

Сложение (вычитание) векторов: ,

Разложение, умножение на число, равенство векторов.

Разложить любой вектор можно на произвольное количество векторов.

Умножить вектор на число – умножить на это число все его проекции.

Равными считаются вектора, которые при наложении совпадают.

Нулевой вектор.

Модуль такого равен нулю, направление не определено.

Пример – задача про четырех черепах (поворотная симметрия). Из одинаковости нач. условий и правил движения – одинаковые траектории.

Скалярное произведение векторов: _.

Правая (левая) системы координат (тройка векторов) .

Если вектор по кратчайшему углу вращать к вектору , при этом связанный с ними правый буравчик ввинчивается вдоль вектора , такая система (тройка векторов) называется правой (порядок имеет значение). Если вдоль вектора , то левой.

Или: если смотреть из конца вектора , перпендикулярного плоскости, образованной векторами ,на эту плоскость, и при вращении вектора квектору по кратчайшему углу движение вектора происходит против часовой стрелки, то такая тройка векторов наз. правой. Иначе – левой.

Векторное произведение векторов:

;

Вектора образуютправую тройку векторов.

Для – правой тройки, состоящей из единичных векторов - орт, направленных вдоль осей координат, правило умножения:

.

Радиус-вектор

.

Определяется тремя (одной, двумя) функциями. Р-в – вектор, идет из начала координат.

Полярная система координат на плоскости – содержит заданную точку плоскости О – полюс, семейство концентрических окружностей с центром в точке О и семейство лучей, исходящих из точки О. Один из лучей называют полярной осью.

Полярные координаты – расстояние до полюса (радиус ) и угол между полярной осью и лучом, проходящим через полюс и рассматриваемую точку. Так же задается радиус-вектор точки на плоскости. Точка в полярных координатах обозначается так: .

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

2. Функция

Функция – правило соотнесения значений независимой переменной (аргумента) и значений зависимой переменной (функции). Например, – положение (координата) точки на числовой (координатной) оси , в зависимости от времени. Ф может быть векторной (напр., радиус-вектор).

Примеры функций: - зависимость пройденного пути от времени при равноускоренном движении вдоль траектории; - квадратичная зависимость.

Функция задается аналитически, графически, таблично.

Приращение функции – разница между последующим и текущим значением функции.

.

Временной интервал – отрезок времени.

.

Задача-свечка во вращающейся комнате.

Производная функции – предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при стремлении приращения аргумента к нулю.

, ;

, ,

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции. Применение производной для исследования функции. Возрастание (убывание) функции, максимум (минимум) функции.

Функция возрастает, если производная положительна, убывает, если отрицательна. Если производная равна нулю, то функция принимает максимальное либо минимальное значение.

Пример – график скорости по графику пути (расстоянию) от точки наблюдения при движении по траектории.

Интегральная сумма – сумма произведений пронумерованных значений функции на соответствующие пронумерованные приращения аргумента. Значения функции выбираются в пределах соответствующего интервала изменения аргумента.

Определенный интеграл от функции - предельное значение интегральной суммы:

Здесь аргумент изменяется в пределах от до .

Первообразная функция.

Если существует такая дифференцируемая функция , что

,

то такая функция является первообразной для функции .

Неопределенный интеграл:

- множество всех первообразных.

Здесь - первообразная функции : . Первообразная определена с точностью до константы:

;

Формула Ньютона-Лейбница:

,

где - первообразная функции .

3. Движение по траектории.

Траектория частицы – кривая, по которой движется частица в пространстве/на плоскости.

Путь – длина участка траектории, пройденного за рассматриваемый отрезок времени: .

Путь – сумма длин участков траектории:

.

Путь – интеграл от скорости по времени в пределах от до :

Зеркальная симметрия. Задача об отражении в зеркале.

Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения частицы. Может быть равно нулю – тело вернулось в исходную точку.

Пример – перемещение за день, от кровати до кровати.

Скорость средняя (модуль) – полный путь на полное время.

.

Пример - пароход на реке.

Скорость мгновенная:

.

Мгновенная скорость направлена вдоль вектора - по касательной к траектории.

На траектории движения мгновенная скорость:

.

Ускорение:

Ускорение - вектор. Направление - вдоль вектора . Угол между вектором скорости и вектором ускорения – произвольный, и лежит в пределах:

.

При и тело движется по прямой линии. При тело движется по окружности.

Пример – скорость и ускорение на параболе – траектории движения в однородном поле тяжести.

Угол – часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной точки.

Мера угла – отношение длины дуги окружности, отсекаемой лучами на окружности с центром в точке пересечения лучей, к радиусу этой окружности:

.

Если , угол радиан.

Скорость угловая:

.

Из приведенных соотношений при постоянном радиусе следует:

,

или

.

Здесь

- линейная скорость движения точки по окружности.

- псевдовектор, - псевдовектор.

Пусть при движении по окружности (например, Земли вокруг Солнца) с угловой скоростью ее радиус-вектор переходит в радиус–вектор .Вектора образуют правую тройку векторов: если смотреть из конца вектора , то при вращении вектора к вектору движение вектора происходит против часовой стрелки.

Ускорение угловое:

.

Уу – псевдовектор: вектора образуют правую тройку векторов.

Ускорение тангенцальное (касательное к траектории движения) – проекция полного вектора ускорения на мгновенную скорость частицы.

Ускорение центростремительное (нормальное к траектории движения) - проекция полного вектора ускорения на перпендикуляр к мгновенной скорости частицы.

Радиус кривизны траектории – радиус наибольшей окружности, касательной траектории в данной точке движения.

Задача – форма поверхности жидкости в стакане. Почему в покое поверхность жидкости в стакане параллельна поверхности Земли?

Скорость частицы в декартовых координатах.

Радиус-вектор частицы в момент времени t задается тремя (двумя, одной) функциями: . .

Производная от вектора.

Приращение радиус-вектора:

.

Скорость частицы – производная радиус-вектора:

.

.

В конечных разностях .

В пределе, при , средняя скорость переходит в мгновенную скорость, направление вектора перемещения и вектора мгновенной скорости совпадают. Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

Модуль (величина) скорости:

.

Ускорение частицы в декартовых координатах.

Равномерное движение.

В этом случае скорость не зависит от времени:

,

где - постоянный вектор.

Радиус-вектор частицы:

,

где – значение радиус-вектора частицы при t = 0.

.

Направление вектора перемещения и вектора скорости совпадают. На координатной плоскости (в пространстве) частица двигается по прямой линии.

Задача- вектора скорости и ускорения на траектории движения.

4. Инвариантные и относительные величины.

Преобразования Галилея.

Инвариантными характеристиками движения называются такие характеристики, которые сохраняются при переходе из одной системы отсчета в другую.

Например, сохраняется временной интервал, длина отрезка, линейки, масса тела и т.д. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую инерциальную систему сохраняется величина ускорения тела.

Относительными величинами называются такие величины, которые меняются при переходе из одной системы отсчета в другую. В кинематике это координаты тела, перемещение, скорость. Если хотя бы одна из систем отсчета является неинерциальной, то при переходе может меняться и ускорение тела.

Преобразования Галилея.

Пусть в лабораторной системе отсчета с началом координат в точке движется частица, при этом ее текущий радиус-вектор .

Соответственно, скорость частицы в этой системе отсчета ,

ускорение .

Пусть относительно лабораторной системы движется система отсчета с началом в точке . При этом в системе радиус-вектор точки равен , скорость движущейся системы относительно лабораторной (относительная скорость) .

В движущейся системе отсчета:

радиус-вектор частицы ,

скорость ,

ускорение .

В ньютоновской механике предполагается, что время во всех системах отсчетах течет одинаково, время абсолютно: .

Тогда справедливы соотношения:

; или

Если относительное ускорение движущейся системы отсчета равно нулю, т.е. , то величина ускорения частицы сохраняется: . Например, ускорение инвариантно относительно перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую инерциальную систему. Это следует из того, что в этом случае .

Преобразования Галилея связывают координаты и время в одной инерциальной системе отсчета с координатами и временем в другой инерциальной системе отсчета:

5. Динамика. Законы Ньютона.

Основные понятия.

Уравнения движения - соотношения, связывающие ускорение частицы с координатами и скоростями.

Законы сохранения - соотношения, определяющие инвариантные (неизменные) величины при движении системы.

Масса – характеристика внутреннего состояния частицы, определяющая ее энергию (E=mc²), «интенсивность» гравитационного взаимодействия с другими частицами (F=GmM/r²), «интенсивность» сопротивления изменению скорости (F=ma) - мера инерции.

Инерция – способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения. «Тело двигается по инерции…».

Импульс частицы , импульс системы частиц .

Импульс вектор, как и скорость.

Сила – мера взаимодействия тел.

Принцип суперпозиции – суммарное действие независимых причин равно сумме действий этих причин.

Замкнутая система – система, не подверженная действию внешних сил.

Сила трения покоя и скольжения - силы, возникающие при скольжении тел. Приложены в точке взаимодействия тел и лежат в касательной плоскости. Направлены против вектора возможного смещения или скорости.

Тяготение - свойство масс взаимодействовать на расстоянии.Одно из четырех фундаментальных взаимодействий (сильное, слабое, электромагнитное, гравитационное).

Вес - сила действия тела на опору.

Сила реакции – сила, возникающая при контактном взаимодействии тел. Приложена к телу в точке взаимодействия тел и направлена по нормали к касательной плоскости.

Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона-закон инерции:

Существуют системы отсчета, в которых тела, свободные от внешних воздействий, движутся прямолинейно и равномерно. Такие системы отсчета называют инерциальными.

Или: если на тело не действует сила, тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения.

Принцип относительности Галилея:

Механические явления (законы) одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Инерциальные системы отсчета эквивалентны. Время абсолютно. Для полного совпадения необходима одинаковость начальных условий.

Второй закон Ньютона:

.

Такое уравнение называется также уравнением движения тела. Для системы тел:

.

Дата добавления: 2015-08-31