Моделирование движения механической системы в силовом поле

Механическая система представляет собой совокупность материальных точек, взаимодействующих друг с другом и окружающими телами. Основная задача механики состоит в расчете движения точек системы, исходя из их масс и действующих на них сил. Эта глава посвящена компьютерному моделированию систем, состоящих из одной или нескольких частиц, взаимодействующих друг с другом и движущихся во внешнем силовом поле [3].

Простейшей механической системой является материальная точка, которая под действием некоторой силы движется вдоль прямой (например, оси ). Если считать, что движение происходит в вязкой среде, а масса частицы и действующая на нее сила, зависят от координат и времени, то задача становится достаточно сложной. Пусть материальная точка массой m движется вдоль оси под действием силы . На частицу также действует сила сопротивления, которая пропорциональна скорости: . В начальный момент точка имеет координату и скорость . Необходимо определить координату точки , ее скорость и ускорение в следующие моменты времени [7]. Из второго закона Ньютона следует дифференциальное уравнение второго порядка: . Характер движения физической системы зависит от ее параметров, начальных условий и действующей на нее внешней силы. В этом случае возможны следующие ситуации:

1) внешняя сила отсутствует;

2) внешняя сила постоянна;

3) внешняя сила изменяется по некоторому закону .

Будем использовать метод сеток, для этого перейдем от непрерывной области к дискретной области . В соответствии с методом Эйлера заменим бесконечно малые приращения функции и ее первые две производные , их конечно–разностными аппроксимациями. Исходя из параметров системы (m и r), координаты и скорости частицы в момент , рассчитываются ее координата и скорость в следующий момент (дискретный момент ): , , . Это состояние рассматривается как исходное и процедура расчета повторяется для момента времени и т.д. В одном цикле с вычислениями строятся графики .

Большое количество физических задач сводится к анализу движения систем, имеющих две степени свободы, в частности к двумерному движе- нию материальной точки. Например, задача о качении шарика по искрив- ленной поверхности, задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту, задача о движении частицы в поле центральных сил и т.д. Рассмотрим материальную точку массой m, движущуюся в однородном силовом поле , на которую действует сила сопротивления . Необходимо, зная начальные условия, определить координаты, проекции скорости и ускорения в последующие моменты времени, построить траекторию [8].

Рис. 3 – Двумерное движение точки в однородном поле тяжести

Пусть материальная точка брошена с некоторой начальной скоростью в поле тяжести в вязкой среде (рис. 3).

При отсутствии силы трения точка движется по параболе, а при ее наличии –– по более сложной кривой. На рис. 3.1 показаны действующие на нее силы.

По второму закону Ньютона: , где .

Получаем:

, , , (2)

, , . (3)

И так, в начале программы необходимо задать массу материальной точки m, коэффициент вязкости r, начальные координаты , и проекции скорости , , силовое поле , , а также шаг по времени ∆τ. Затем следует организовать цикл по времени t, в котором будут рассчитываться ускорение, скорость и координата точки в следующий момент времени t +1, и результаты вычислений будут выводиться на экран в текстовом и графическом виде. Результаты приведены на рис. 3.2. Легко определить время подъема и общее время t движения материальной точки. Для этого результаты вычислений координат и времени выводят в текстовом формате. Чтобы найти время подъема следует воспользоваться тем, что в наивысшей точке траектории проекция скорости на ось y меняет свой знак на противоположный [20]. При вычислении времени полета расчеты производятся до тех пор, пока y не станет меньше нуля. Время подъема меньше времени спуска

Рассмотрим также случай, когда материальная точка движется в центральном поле с потенциальной энергией U =U(r). На точку, удаленную от центра O на расстояние r, действует сила притяжения F = F(r), зависящая только от r и направленная к O (рис. 4.1). Можно записать:

Рис. 4 – Движение точки в поле центральной силы

, , (4,5,6)

Промоделируем движение точки в поле гравитационных сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов (рис. 4.2). Если действует сила вязкого трения, то точка движется по спирали, приближаясь к началу координат. Из рис. 5 видно, при малых скоростях точка движется по эллиптической орбите (траектории 1, 2, 3, 4), а при больших –– по гиперболической (траектории 5, 6). Критическому случаю соответствует параболическая траектория. На рис. 5.2 представлены результаты расчетов движения частицы в центральном поле, для которого . Видно, что траекторией является незамкнутая кривая (розетка). Известно, что частица движется по замкнутой траектории только в поле квазиупругой силы или силы притяжения, для которой .

Для планеты, вращающейся вокруг Солнца, построим графики зависимости расстояния, линейной скорости и секториальной скорости планеты от времени и подтвердим, что секториальная скорость планеты остается постоянной (второй закон Кеплера) [21]. Пусть за время ∆τ планета перемещается из в (рис. 6.1). Длины сторон AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны:

Рис. 5 – Движение точки в гравитационном поле Земли

, . (7)

Рис. 6 – Моделирование движения точки в центральном поле

Радиус–вектор планеты заметает площадь ∆S=r|BC |/2, ее секториальная скорость ω = ∆S/∆τ. Из рис. 6.2 видно, что секториальная скорость не изменяется, это и подтверждает второй закон Кеплера. Кроме расчета секториальной скорости в программе вычисляются скорость υ и расстояния r от планеты до Солнца.

На рис. 6.3 представлены результаты расчетов движения альфа–частиц в поле положительно заряженного ядра атома (опыт Резерфорда) при различных значениях прицельного параметра ρ. Действуют силы отталкивания, поэтому в программе следует изменить знак в выражении для силы F. Траекториями частиц являются гиперболы. После небольших изменений можем промоделировать движение частицы в центральном поле, задаваемом уравнением: . Коэффициенты и подбираются так, чтобы при больших r преобладали силы притяжения, а при малых –– силы отталкивания.

Итак, исходя из информации, приведенной в главе 1 можно заключить, что компьютерное моделирование, как метод научного познания является наиболее приемлемым для изучения процессов, неподвластных непосредственному изучению. К таким процессам можно отнести как микропроцессы, так и макропроцессы. В главе 2 будет рассмотрено моделирование движения электрического заряда в пространстве между заряженными пластинами конденсатора – в качестве микропроцесса, а также моделирование движения космической станции в поле тяжести Земли, Луны и Солнца.

Глава II. Методика изложения темы «Движение в поле гравитационных и электрических сил»

Дата добавления: 2015-08-31