Теория движения ИСЗ

Постановка целей и задач моделирования движения космической станции

Актуальность разработки теории движения небесных тел много лет остается плодотворным направлением исследований, как в физике, так и в математике. Одной из ее важнейших проблем является ограниченная задача трех тел. Актуальность исследования этой задачи связана с тем, что ее общее решение до сих пор не известно, но сама она имеет многочисленные и важные практические приложения.

За 45 лет существования раздела науки, именуемого динамикой ИСЗ, создано много новых методов и алгоритмов, предназначенных как для приближенного, так и для высокоточного моделирования движения, написаны подробные монографии и аналитические обзоры, но учебников практически нет. Вышедшая в 1965 г. книга П. Е. Эльясберга "Введение в теорию полета искусственных спутников Земли", которую можно было бы порекомендовать студентам для первоначального ознакомления с проблемой, давно стала библиографической редкостью. По современным результатам практически не существует сколько-нибудь подробных обзоров.

Моделирование орбит любых искусственных тел в околоземном пространстве опирается на отыскание частных решений ограниченной задачи трех тел. Для этого применяются разнообразные численные и численно-аналитические алгоритмы. Желание получить новые семейства орбит заставляет нас развивать способы интегрирования этой сложной задачи.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ существующих классов орбит и практики их применения для астрофизических исследований, выявление недостатков указанных орбит, анализ существующих подходов к численному моделированию орбитального движения СИСЗ и выявление их недостатков.

2. Разработка математической модели движения искусственного тела, позволяющей эффективно исследовать орбиты.

3. Разработка средств численного анализа и алгоритма численного моделирования орбитального движения СИСЗ.

5. Разработка компьютерной модели движения искусственного спутника Земли, позволяющей эффективно исследовать орбиты.

6. Получение новых, перспективных классов орбит СИСЗ в окрестности треугольных точек либрации и изучение их свойств.

С математической точки зрения задача о движении искусственного спутника Земли, как и задача о движении любого естественного объекта Солнечной системы, является задачей Коши. Движение описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями с начальными условиями.

Обычно движение искусственного спутника Земли представляется как движение материальной частицы бесконечно малой массы в поле тяготения центрального тела с массой под действием сил, определенных потенциальной функцией , и совокупности не потенциальных сил . В этом случае дифференциальные уравнения движения частицы в прямоугольной инерциальной системе координат, связанной с центральным телом , можно записать следующим образом:

(12)

с начальными условиями

(13)

Количество действующих на движение ИСЗ возмущающих сил весьма велико. К силам, имеющим потенциал, относятся все силы гравитационной природы. Это влияние не сферичности Земли, возмущения, связанные с приливными деформациями Земли, а также влияние Луны и Солнца. К силам, не имеющим потенциала, относится сила сопротивления атмосферы. Сила светового давления на искусственный спутник Земли для большинства объектов является разрывной функцией времени. Ее непрерывная аппроксимация, содержащая функцию тени, также является не потенциальной, хотя сама по себе сила радиационного давления имеет потенциал [10].

Как аналитический, так и численный подходы к решению уравнений небесной механики основаны на приближении решений отрезками каких-либо рядов, однако в построении этих решений есть принципиальная разница.

Аналитический подход позволяет строить ряды, аппроксимирующие решение на значительных интервалах времени от одного до нескольких тысяч оборотов объекта. Кроме того, очень существенно, что аналитическая аппроксимация хотя и может зависеть от типа орбиты, но никогда напрямую не связана с начальными условиями уравнений движения. В связи с этим аналитическую аппроксимацию можно считать общим решением. И именно поэтому аналитические методы иногда называют методами общих возмущений.

Главная трудность при аналитическом подходе состоит в представлении правых частей уравнений движения в виде явных функций времени. Это достигается путем разложения возмущающей функции в ряд пуассоновского типа. Сложность построения точных аналитических аппроксимаций решения уравнений (12) приводит к тому, что более или менее общее решение, приемлемое для различных типов орбит, построить практически невозможно и применение каждой отдельной теории движения ограничено конкретным классом орбит.

Чтобы решить задачу, необходимо для начала четко себе ее представить.

Предположим, всеми правдами и неправдами нам удалось заполучить двумерный участок безвоздушного пространства с находящимися в нем телами. Все тела перемещаются под действием сил гравитации. Внешнего воздействия нет.

Необходимо построить процесс их движения относительно друг друга. Простота реализации и красочность конечного результата послужат стимулом и наградой. Освоение Питона будет хорошей инвестицией в будущее.

Введем систему координат.

Пусть система состоит из двух тел:

1. массивной звезды массой М и центром ;

2. легкой планеты массой m, с центром в точке , скоростью и ускорением .

После разбора данного случая, студент легко перейдет к сложным системам со взаимным влиянием звезд и планет друг на друга.

Согласно Второму закону Ньютона:

(14)

(15)

Это позволяет составить алгоритм перемещения планеты в поле гравитации звезды:

1. Перед началом задается начальное положение планеты и начальную скорость

2. На каждом шаге вычисляется новое ускорение по формуле выше, после этого пересчитываем скорость и координаты:

(16)

(17)

(18)

(19)

Дата добавления: 2015-08-31