Расчет и анализ результатов оптимизации прибыли

Постановка задачи и формирование оптимизационной модели

Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования

Предприятие реализует товары трех групп. Известны нормативы затрат ресурсов A_ij в расчете на единицу товара и ограничения по располагаемым ресурсам, которые приведены в (табл. 3.1)

Таблица 3.1

Нормативы затрат ресурсов и ограничений

Ресурсы	Нормативы затрат ресурсов по продаже товаров
Aj	Bj	Cj
Рабочее время, чел.ч.	А11=0,1	А12=0,2	А13=0,4
Площадь торговых помещений, м2	А21=0,05	А22=0,02	А23=0,02
Издержки обращения на ед. товара, руб.	А31=3	А32=1	А33=2
Доход на единицу товара, руб.	С1=3	С2=5	С3=4
План продажи, ед.	X1	X2	X3

Ограничение объемов ресурсов составляют: ресурс первого вида ≤ 1300, ресурс второго вида ≤ 140, ресурс третьего вида ≤8200.

Необходимо составить оптимальный план товарооборота по критерию максимума дохода.

Это классическая задача линейного программирования о наилучшем использовании ресурсов. В данной задаче также будет присутствовать целочисленное программирование, т.к. продукция неделимая.

Составим оптимизационную модель. Запишем целевую функцию(формула 3.1), ограничения на количество ресурсов (формула 3.2) и условия неотрицательности (формула 3.3)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Первоначальный опорный план симплекс методом находится только тогда, когда в системе ограничения левые и правые части уравнения равны. Поэтому необходимо перейти от неравенств к равенствам, прибавляя к левым частям неотрицательные дополнительные переменные (дополнительным переменным в линейной функции соответствуют коэффициенты равные нулю). Следовательно, целевая функция (формула 3.4), система ограничений (формула 3.5) и условия неотрицательности (формула 3.6)примут другой вид.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Решаем задачу симплексным методом. Расчеты производим в симплекс таблице. (см. табл. 3.2)

Таблица 3.2

Первая симплексная таблица

Базис	Cj баз.	B	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X4			0.1	0.2	0.4
X5			0.05	0.02	0.02
X6
П(x)		-3	-5	-4

Этот план не является оптимальным, так как в строке «прибыль» есть три отрицательные оценки. Выбирая наименьшую оценку, находим направляющий столбец. Направляющую строку находим, поочередно деля, значение «В» i-й строки на элемент i-й строки направляющего столбца. Направляющей строкой будет та, в которой значение частного будет наименьшим. Направляющий столбец - пятый, направляющая строка первая. Разрешающий элемент находим на пересечении направляющей строки и столбца, он равен 0.2. Строим вторую симплексную таблицу. (табл. 3.3)

Таблица 3.2

Вторая симплексная таблица

Базис	Cj баз.	B	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X2			0.5
X5			0.04		-0.02	-0.1
X6			2.5			-5
П(x)		-0.5

Этот план тоже не оптимальный, так как в строке «прибыль» еще есть отрицательные элементы. Снова находим направляющий столбец и строку. Направляющий столбец - четвертый, направляющая строка - вторая. Разрешающий элемент равен 0.04. Строим третью симплексную таблицу. (табл. 3.4)

Таблица 3.3

Третья симплексная таблица

Базис	Cj баз.	B	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X2					2.25	6.25	-12.5
X1					-0.5	-2.5
X6					1.25	1.25	-62.5
П(x)				5.75	23.75	12.5

В результате проведения двух итераций получаем оптимальный план , которому соответствует максимальное значение линейной функции F(x)max=32625.

В итоговой строке «прибыль» на пересечении со столбцами X₄ X₅ X₆ можно найти двойственные оценки ресурсов, которые покажут, какую прибыль приносит одна единица каждого имеющегося в наличии ресурса.

Прибыль от одного человеко-часа рабочего времени составит 23 рубля 75 копеек. Прибыль от одного квадратного метра торговых помещений равна 12 рублям 50 копейкам, а третий ресурс (издержки обращения на единицу товара) использован не полностью и прибыль от него равна 0 рублям.

Ответ: Предприятию необходимо реализовывать 250 единиц товара первой группы и 6375 единиц товара второй группы, тогда остатки третьего ресурса (издержки обращения на единицу товара) составят 1075 рублей. При этом максимальный доход будет равен 32625 рублей.

Заключение

Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Математическое программирование является одним из разделов науки об исследовании операций.

Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий), например, при решении проблем управления и планирования производственных процессов, в проектировании и перспективном планировании, в военном деле и т.д.

Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т.е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, - с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения компьютеров. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения. Проблема принятия решений в исследовании операций неразрывно связана с процессом моделирования.

Первый этап процесса моделирования состоит в построении качественной модели. Второй этап - построение математической модели paccматриваемой проблемы. Этот этап включает также построение целевой функции, т. е. такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения принимающего решения. Итак, в результате этих двух этапов формируется соответствующая математическая задача.

Третий этап - исследование влияния переменных на значение целевой функции. Этот этап предусматривает владение математическим аппаратом для решения математических задач, возникающих на втором этапе процесса принятия решения.

Четвертый этап - сопоставление результатов вычислений, полученных на третьем этапе, с моделируемым объектом, т. е. экспертная проверка результатов (критерий практики). Таким образом, на этом этапе устанавливается степень адекватности модели и моделируемого объекта в пределах точности исходной информации.

Широкий класс задач управления составляют такие экстремальные задачи, в математических моделях которых условия на переменные задаются равенствами и неравенствами. Теория и методы решения этих задач как раз и составляют содержание математического программирования.

Список литературы

1. Берюхова Т.Н.Банк производственных задач в расчетах на ЭВМ: учебное пособие. – Тюмень.: ТюмИИ, 1992. – 124с.

2. Карманов В.Г. Математическое программирование: учебное пособие для студентов вузов. – М.: Физматлит, 2001. – 264с.

3. Кузнецов А.В. Математическое программирование: учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1976. – 352с.

4. Мочалов И.А. Нечеткое линейное программирование. // Промышленные АСУ и контроллеры. – 2006. - № 10. – с.26-29.

5. Пашутин С.Оптимизация издержек и технология формирования оптимального ассортимента. // Управление персоналом. – 2005. - №5. – с.20-24.

Дата добавления: 2017-01-13