Проблемы решения задач многокритериальной оптимизации

На предыдущей лекции мы сформулировали задачу многокритериальной оптимизации (ЗМО):

min F (X) или min (F ₁(X), F ₂(X),..., F_m (X))

X Î D X Î D

где F_i (X), i=1,2,..., m, частные критерии, D – область работоспособности. Заметим, что к выходным параметрам относят не только физические параметры (масса, скорость, задержка сигнала), но и стоимость, надёжность. Говорят, что мы построили математическую модель многокритериальной задачи оптимизации. Но эту задачу нужно ещё и решить, т.е. найти оптимальное решение. Главная особенность многокритериальных задач оптимизации заключается в том, что частные критерии противоречивы, т.е. улучшение одного приводит к ухудшению другого (других) критериев. Такие критерии (выходные параметры) ещё называют конфликтными.

При разработке методов решения МЗО приходится решать специфические проблемы. Рассмотрим эти проблемы подробнее.

Несравнимость решений. Основная сложность логического анализа многокритериальных задач состоит в том, что в них, в отличие от "обычных" (однокритериальных) задач появляется эффект несравнимости вариантов (решений). Рассмотрим пример. Множество D состоит из 4 возможных решений X ₁, X ₂, X ₃, X ₄. Каждому решению соответствуют определённые значения показателей (критериев) F ₁ и F ₂ (критерии минимизируются). Пусть имеются следующие векторные оценки: F (X ₁)=(2;4), F (X ₂)=(3;5), F (X ₃)=(5;2), F (X ₄)=(2;1). Вариант X ₁ лучше варианта X₂. Вариант X₁ лучше по первому критерию, но хуже по второму (варианты X₁ и X₃ несравнимы между собой). Вариант X₁ хуже варианта X₄. Вариант X₄ лучше по первому критерию вариант X ₃, но хуже по второму (варианты X₃ и X₄ несравнимы между собой). В результате решения мы получили два недоминируемых (неулучшаемых) решения X ₃ и X ₄. Несравнимость решений является формой неопределённости, которая, в отличие от неопределённости, вызванной воздействием среды, связана со стремлением лица принимающего решение "достичь противоречивых целей" и может быть названа ценностной неопределённостью. Выбор между несравнимыми решениями является сложной концептуальной проблемой и составляет основное содержание многокритериальной оптимизации [В.В. Розен. Математические модели принятия решений в экономике].

Нормализация критериев. Так как частные критерии имеют различный физический смысл, т.е. измеряются в различных единицах; масштабы их не соизмеримы, поэтому невозможно сравнение качества полученных результатов по каждому критерию.

Операция приведения масштабов локальных критериев к единому, обычно безразмерному, носит название нормализации критериев.

После нормализации частных критериев векторные критерии приобретают некоторые полезные свойства. Главное из них – любая перестановка частных критериев приводит к векторной оценке, которая входит во множество векторных оценок (значений исходной векторной оценки). С помощью нормализации частных критериев стоятся пошаговые математические алгоритмы сужения исходного множества D до единственного решения. Нормализация частных критериев используется, например, при построении аддитивного критерия оптимальности.

Выбор принципа оптимальности, т.е. требуется определить правило, которое позволило бы сказать какое решение лучше. Выбор принципа оптимальности – основная проблема векторной оптимизации. Формально описать принцип оптимальности (критерии "правильности решения") – оказывается затруднительным.

1. Во-первых, объекты, рассматриваемые теорией принятия решений настолько разнообразны, что установить единые принципы оптимальности для всех классов задач не представляется возможным.

2. Во-вторых, цели участников процессов принятия решений – различны и часто противоположны.

3. В-третьих, критерии правильности решения зависят не только от характера задачи, её цели и т.п., но и от того, насколько беспристрастно они выбраны, в противном случае будет подготовка под ответ.

4. В-четвёртых, трудности выбора решения могут скрываться и в самой постановке задачи, если требуется достижение нереальных результатов. Например, получение максимальной прибыли при минимальном риске; строительство в минимальные сроки при максимальном качестве; минимальный ущерб противнику в военных действиях при минимальных собственных потерях.

Дата добавления: 2017-01-13