Расчетная часть. 2.1 Определение параметров устойчивости системы автоматического

2.1 Определение параметров устойчивости системы автоматического

регулирования в статическом и динамическом режимах

Статические и динамические свойства объекта регулирования (ОР) оцениваются аналитически по результатам решения дифференциальных уравнений, составленных на основании материального и энергетического балансов объекта.

Статические свойства ОР определяют способность объекта сохранять состояние равновесия и связь между различными состояниями его равновесия. В проекте эта связь представляет собой зависимость между входной (Хо) и выходной (Уо) величинами в установившемся режиме.

Контур регулирования системы состоит из нескольких звеньев (ОР, Д, Р,ИМ), с помощью которых осуществляется связь между Хо и Уо. Каждое звено имеет свою статическую характеристику.

Аналитическое исследование САР в статическом режиме заключается:

- в построении совместных характеристик ОР и ДРИМ и определения координат рабочей точки, а также угла между ними. В случае устойчивой работы системы угол пересечения статических характеристик ОР и ДРИМ должен быть в пределах 60-90о. Если это условие не соблюдается, то в цепь ОС САР включается дополнительное усилительное или ослабительное звено,

- в решении системы уравнений и определении координат рабочей точки системы, координаты должны совпадать с координатами рабочей точки, полученными графическим путем.

Динамические свойства системы исследуются аналитическим путем с помощью переходных функций ОР и звеньев цепи обратной связи (ДРИМ).

Динамический режим (переходный процесс) графически изображается кривой переходного процесса, его устойчивость характеризуется амплитудой колебания, инерционностью, колебательностью и прочими критериями. В проекте устойчивость заданной системы в динамическом режиме определяется:

- по критерию Ляпунова, путем решения характеристического уравнения системы и исследования его корней,

- по критерию Найквиста, путем построения годографа переходной функции САР и его исследования.

Исследуется система автоматического регулирования давления смеси в трубопроводе (контур 6), на структурной схеме системы обозначено:

ОР- объект регулирования,

Д- датчик,

К- усилитель или ослабитель

Р- регулятор,

З- задатчик,

ИМ- исполнительный механизм

Х Хо

Исходные данные: (для примера взят 22 вариант)

Уравнения для объекта регулирования Yо = Хо/ N= Хо/ 22

Уравнение для датчика

Уравнение для регулятора

Уравнение для исполнительного механизма

2.1.1 Определение графическим методом общей статической характеристики цепи обратной связи – ДРИМ.

Для этого изобразим статические характеристики этих звеньев на общей плоскости. В первом квадранте находится статическая характеристика датчика, во втором - регулятора, в третьем – исполнительного механизма.

Для определения результирующей статической характеристики разбиваем ось Хд на равные отрезки от 1 до 5. Из точек 1,2,3,4,5, проводим перпендикуляры до пересечения с линейной статической характеристикой датчика. Получаем точки А1, В1, С1 и т.д.

Из этих точек проводим горизонтали до пересечения со статической характеристикой регулятора в точках А2,В2, С2 и т.д.

Из этих точек опускаем перпендикуляры до пересечения с характеристикой исполнительного механизма, получаем точки А3, В3 С3 и т.д. Горизонтальное положение оси Yр меняется на вертикальное.

Из новых точек проводим горизонтали до пересечения с соответствующими перпендикулярами из точек А1,В1, С1 и т.д.

Соединяя точки А4,В4 и т.д., получим результирующую статическую характеристику обратной связи – ДРИМ.

2.1.2 Построение статических характеристик объекта регулирования и

системы управления

Для определения взаимосвязи между статическими характеристиками объекта и ДРИМ изобразим их в одной системе координат. В результате эти две статические характеристики пересекутся в точке А. Эта точка называется рабочей. Угол пересечения этих двух статических характеристик равен 87 .

Из теории автоматического регулирования известно, что при пересечении двух статических характеристик под углом от 60 до 90о система характеризуется хорошей устойчивостью.

__________________________________Х

Для расчета динамического коэффициента регулирования D рассматривается общая статическая характеристика объекта и ДРИМ.

По характеристике ДРИМ определяется возможный диапазон изменений входного параметра от 0 до 4,58, т.е ΔХвх = 4,58. Далее переносим эти две точки на характеристику объекта и находим ΔΎ = 0,21. Подставим эти значения в выражение

D = ΔY / ΔXвх

D = 0,21 / 4,58 = 0,05

Из теории автоматического управления известно, что при D =1 система имеет оптимальную передачу сигнала в замкнутом контуре, при D > 1 в цепь обратной связи следует включить ослабитель сигнала; при D< 1 в цепь обратной связи следует включить усилительный элемент Для получения динамического коэффициента равного единице, в цепь обратной связи включается усилительный элемент с коэффициентом передачи К=20.

2.1.3 Определение аналитического выражения регулирующей системы –

ДРИМ

Для этого преобразуем статические характеристики датчика, регулятора и исполнительного механизма.

Из структурной схемы управления видно, что Yд = Хр; Yр = Хим

Подставим уравнение датчика в уравнение регулятора, а полученное результирующее уравнение подставим в уравнение исполнительного механизма:

=

В результате получено выражение Yим = 9,4 – 2Хд

Это выражение является статической характеристикой цепи обратной связи, полученной аналитическим способом. Оно также описывает статическую характеристику цепи обратной связи, полученную ранее графическим способом.

2.1.4 Нахождение аналитическим способом рабочей точки системы.

Для определения координат рабочей точки системы по аналитическому выражению строится структурная схема полученной системы в виде двух элементов с целью определения взаимосвязи регулирующих параметров.

Х ______ _________________ ________________________ У

Поскольку статические характеристики представляются прямыми линиями, то необходимо найти точку пересечения двух прямых линий, которые задаются уравнениями:

{Yим = 9,4 – 2Хд

Yо = Хо/ N

Обозначим Хд=Хо=Х; Уим=Уо=У, в результате получим

У = 9,4 -2Х

У = 0.045 Х

Решается система уравнений и определяются координаты рабочей точки

Х = 4,9; У = 0,207

А (4,6; 0,207)

2.1.5 Определение передаточных функций элементов системы.

Определение передаточных функций относится к расчету динамических параметров системы.

Передаточная функция объекта регулирования задана формулой

= 1/р

Передаточная функция датчика

Wд= =

Передаточная функция регулятора

Wp=

Передаточная функция исполнительного механизма

Wим=

Так как звенья включены последовательно, то для определения передаточной функции обратной связи передаточные функции звеньев перемножаются

Wос(р) = Wд(p)*Wр(p)*Wим(p)

Wос(р)= =

2.1.6 Определение передаточной функции системы регулирования.

Для определения передаточной функции системы воспользуемся выражением

Wc(p) =

Подставим в это выражение все составляющие передаточные функции и преобразуем результирующее выражение:

Wc(p)=

2.1.7 Определение временной функции переходного процесса и критерия

устойчивости САР по характеристическому уравнению.

Для нахождения временной функции переходного процесса упростим выражение, исключив из выражения передаточной функции в числителе

, а в знаменателе .

Передаточная функция примет вид

Wпер(p) =

и представляет собой частотную характеристику переходного процесса, которая характеризует реакцию системы на входной гармонический сигнал.

Определить устойчивость системы регулирования можно двумя способами:

1. определяется устойчивость системы по положению характеристических корней и на координатной плоскости (в координатах мнимых Im и действительных Re чисел). Для определения корней характеристического уравнения приравняем к нулю знаменатель

2,09 + 5,5р +4,4= 0

Решение уравнения

Найдем дискриминант уравнения

p1= -1,3 +1,2i p2 = - 1,3 – 1,2i

По критерию Ляпунова, если два положения корней находятся в отрицательной плоскости относительно оси Im, то система устойчива.

Im

-Re_____________________________________

Это показывает, что под влиянием изменения на входе, в системе возникает регулирующее воздействие, при котором система стремится к своему первоначальному состоянию.

2.1.8 Определение устойчивости системы по годографу.

Устойчивость замкнутой системы определяется, используя амплитудно-фазовую частотную характеристику АФЧХ – годограф.

Передаточная функция всей системы имеет выражение

Wc (p) =

Устойчивость системы определяется по критерию Найквиста.

В выражении заменим оператор Лапласа р на jw.

Y=

Y=

Уравнение разделяется на действительную и мнимую части:

Re (w) =

Im (w) = 5,5w-5,68

Для определения реперных точек годографа приравняем мнимую часть к нулю и определим частоты:

Im (w) = 0

5,5w – 5,68

Подставим значение этих частот в выражение действительной части:

Re (0,97) = 4,4 -2,09*

Im (0) = 4,4

Определяются частоты при условии, что действительная часть равна нулю:

Вводится новая переменная и получается квадратное уравнение

При решении этого уравнения убедимся, что оно имеет мнимые корни. Это значит, что годограф не пересекает мнимую ось.

Для определения других реперных точек определим максимальные значения годографа по условиям:

dIm / dw = 0, тогда

,

подставим в мнимую составляющую годографа и получим jN (0,55) = 1,6;

dRe/ dw = 0, тогда

- , подставим в действительную составляющую годографа Re (0) = 4,4; Re (1) = 3,4.

Теперь определим поведение годографа при частотах w >1. Для этого возьмём значение частоты w = 2. В результате получим Re (2) = 12,4 и

Im (2) = -34,6. Все определённые точки нанесем на чертеж.

На плоскости системы координат устанавливаем найденные точки с указанием, к какой частоте они принадлежат. Соединяем реперные точки, двигаясь в сторону увеличения частоты. Таким образом, получается КРИВАЯ ГОДОГРАФА.

-Re____________________________________________________ Re

ПОСТРОЕНИЕ ГОДОГРАФА

Согласно критерию Найквиста кривая не должна пересекать ось в отрицательной полуплоскости за пределами точки (-1, j0). Из этого критерия следует, что наша система устойчива.

Приложение Л

2.2 Расчет и выбор исполнительного устройства

При расчете ИУ определяется максимальная расчетная пропускная способность Кvмакс и диаметр условного прохода –внутренний диаметр присоединительного патрубка – Ду.

По полученным расчетным данным выбирается типоразмер ИУ.

Исходные данные

Среда

Абсолютное давление среды при максимальном расходе, Па

до исполнительного устройства Р1

после исполнительного устройства Р2

Температура среды до ИУ, оС t1

oК Т1

Максимальный расход среды Qмакс

Жидкости, мз/с Qvмакс

или кг/с Qmмакс

Газа (приведенного к условиям t1= 0оС, Р = 0,10332 МПа), м3/с Qнмакс

Пара (перегретого или сухого насыщенного), кг/с Qмакср

Минимальный расход среды: Qмин

Жидкости, м3/с Qvмин

Или кг/с Qmмин

Газа (приведенного к условиям t1=0оС и Рн= 0,10332 МПа), м3/с Qнмин

Пара, кг/с Qминр

Плотность, кг/м3

Жидкости ρ

Газа (при t1= 0оС и Р= 0,10332 МПа) ρн

Пара:

при рабочей t1 ρ1

при давлении Р1

при давлении Р2 ρ2

Порядок расчета

1. Определяют перепад давления ∆ Рмин на регулирующем органе при максимальном расходе

∆Рмин = Р2 – Р1

2. Определяется максимальная расчетная пропускная способность исполнительного устройства Кумакс в м3/ч с учетом коэффициента запаса п = 1,2

Для жидкости

Кvмакс = ,

или

К v макс = ,

Для газа: при ∆ Рмин < - для докритического режима течения:

Кv макс = ,

где - коэффициент, учитывающий отклонение заданного газа от идеального, принимается равным 0,98

При ∆ Р мин ≥ - для критического режима течения:

К v макс = ,

Для пара: при ∆ Рмин < - для докритического режима течения

Кv макс ,

при ∆ Рмин - для критического режима течения:

Кv макс = ,

3. Определяется внутренний диаметр трубопровода

Для жидкости

м

исходя из заданного максимального расхода жидкости согласно справочным данным средняя скорость течения жидкости в трубопроводе принимается w = 2 м/с.

Для газа

, м

где Q рмакс = максимальный объемный расход газа в рабочих условиях

Qн макс * Рн * Т1 *К

Q рмакс = ------------------------------------ м3/ч

Р1 * Тн

Рн – нормальное абсолютное давление газа принимается 0, 10332 МПа,

Тн – нормальная температура газа принимается 293 о С,

К- коэффициент сжимаемости газа (например, для метана К=1),

-исходя из заданного максимального расхода газа согласно справочным данным среднюю скорость движения газа в трубопроводе принимают w = 20 м/с.

Для пара

, м

- плотность перегретого пара в рабочих условиях принимается равной

4,21

- исходя из заданного максимального расхода пара согласно справочным данным средняя скорость движения пара в трубопроводе принимается w = 45 м/с.

По полученным расчетным данным выбираем: Ду трубопровода (ближайшее меньшее значение), Ру и типоразмер исполнительного устройства.

По каталогу выбирается исполнительное устройство, соответствующего типа (двухседельное, односедельное, шланговое и т.п.), условная пропускная способность которого будет ближайшей большей по отношению к найденному значению.

Пример:

Дата добавления: 2017-01-13