Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку. Означення диференціального рівняння і розв’язку

Означення диференціального рівняння і розв’язку.

Означення. Вираз виду F(, )=0 де – незалежна змінна, а – незалежна функція від цієї змінної, - похідні цієї функції, називається диференціальним рівнянняму звичайних похідних.

По порядку найвищої похідної визначається порядок рівняння.

Означення. Функція визначена на довільній множині, називається рішенням рівняння на даній множині, якщо при підстановці функції в рівняння воно звертається у вірну тотожність.

Приклад. y′= y=kx, k=const

Нехай y′=f(x,у) - рівняння першого порядку, що розв’язано відносно похідної. В кожній точці (x,у) декартової площини побудуємо вектор з кутом нахилу , до додатної частини осі ОХ, для якого виконується рівність .

Сукупність всіх векторів називають полем напрямків, що задається рівнянням y′=f(x,у).

Поле напрямків є геометричною інтерпретацією диференціального рівняння першого порядку.

Якщо розв’язок рівняння y′=f(x,у), то у точці відповідний напрямок з кутом , для якого , буде співпадати з дотичною до графіка кривої з точкою дотику .

Отже, якщо є рішенням рівняння, то напрямок, проведений до кожної точки кривої, збігається з дотичної, проведеної в цій точці до кривої.

Iнтегральною кривою будем називати криву у якої дотична до будь-якої точки співпадає з напрямком проведеним до цієї точки.

Геометрична інтерпретація рішення - це той факт, що рішення є інтегральною кривою.

3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.

Означення. Функція y=φ() називається загальним рішеннямдиференціального рівняння n-го порядку, де – довільні константи, якщо воно є рішенням даного рівняння й будь-яке інше рішення можна одержати з даної функції шляхом відповідного вибору констант.

Припустимо, що треба знайти розв’язок рівняння який задовольняє умовам:

Такі умови називають початковими умовами, а задачу – задачею Коші. Для розв’язку задачі Коші треба знайти загальний розв’язок, а потім використовуючи початкові умови, знайти ті значення констант при яких розв’язок буде задовольняти початковим умовам.

Приклад. Точка рухається уздовж осі зі швидкістю υ(t). При t=0, точка перебуває в . Знайти положення точки в довільний момент часу.

Нехай - координата точки у довільний момент часу, тоді маємо

.

Отже . Використовуючи початкову умову отримаємо .

4. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші.

Розглянемо - задачу Коші для рівняння першого порядку.

Теорема. Нехай функція f(x,у) визначена й неперервна в області і за зміною у задовольняє умову Ліпшица: для будь-якого х і будь-яких виконується нерівність , М – константа. Тоді існує таке, що для задача Коші має єдине рішення, графік якого знаходиться в області D, причому , , ), де .

Доведення. Нехай у=у(х) розв’язок задачі Коші, тоді і інтегріруя отримаємо рівність , отже у=у(х) є рішенням інтегрального рівняння .

Навпаки, якщо у=у(х) розвязок інтегрального рівняння, то диференціруя його отримаємо, що у=у(х) – розв’язок задач Коші.

Таким чином, диференціальне рівняння й інтегральне рівняння - еквівалентні. Доведення теореми еквівалентно доведенню того, що інтегральне рівняння має рішення й воно єдине.

Розглянемо простір неперервних функцій , графіки яких з області D на цьому відрізку не виходять, на якому визначена метрика . Покажемо, що - повний простір. Нехай послідовність Коші в . З курсу аналза відомо, що збігаються до неперервно функції , . Доведемо включення , для цього треба показати, що графік не виходить з області D. Оскільки (графік в області D), то переходячи до границі при п →∞ отримаємо , , тобто .У цьому просторі розглянемо відображення: яке неперервну функцію у(х), в силу властивостей інтеграла, відображає у неперервну. З рівності | | ≤ ≤ N | | = . Маємо, що графік функції Ay не виходить за область D. Отже А: .

Доведемо, що А стискаюче відображення. Візьмемо і розглянемо ρ(Ay,Аz)= | - |≤ | |≤ | | ≤ M∙ ρ(y, z) | | ≤ , де α=М∙ h<1.

Отже відображення А є стискаючим відображенням і на підставі принципу стискаючих відображень воно має єдину нерухливу точку. Тобто, існує y(x), що є неперервною на відрізку функцією графік якої не виходить з області D, яка задовольняє рівності:

, тобто .

Значить задача Коші має єдине рішення. Теорема доведена.

Зауваження до теореми. Якщо частинна похідна обмежена на області D, то умова Ліпшица виконується.

Дата добавления: 2017-01-13