Однородные уравнения 2 страница

б) исследовать все точки покоя системы

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

в) исследовать, при каких значениях параметров асимптотически устойчиво нулевое решение системы

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.

К разделу 1. Уравнения первого порядка

1. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

2. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная .

3. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен .

4. Найти кривые, обладающие в каждой точке свойством: отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

5. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу вдвое меньшую абсциссы точки касания.

6. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:2.

В задачах 7–13 считать, что втекающий газ или жидкость вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно.

7. Сосуд объемом в 20 содержит воздух (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд втекает 0,1 азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99 % азота?

8. Сосуд, объемом 40 содержит воздух (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд втекает 0,2 азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Сколько азота в сосуде будет через 10 мин?

9. В баке находится 100 раствора, содержащего 10 соли. В бак непрерывно подается вода (5 в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?

10. В баке находится 200 раствора, содержащего 10 соли. В бак непрерывно подается вода (10 в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Через сколько времени в баке останется половина первоначального количества соли?

11. В сосуд, содержащий 10 воды, непрерывно поступает со скоростью 2 в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Через сколько времени в сосуде будет 1,5 соли?

12. В воздухе комнаты объемом 200 содержится 0,15 % углекислого газа. Вентиляция подает в минуту 20 воздуха, содержащего 0.04 % углекислого газа. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?

13. В воздухе комнаты объемом 200 содержится 0,15 % углекислого газа. Вентиляция подает в минуту 20 воздуха, содержащего 0,04 % углекислого газа. Сколько углекислого газа останется в воздухе комнаты через 20 мин?

В задачах 14–18 принять, что скорость остывания или нагревания тела прямо пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

14. Тело охладилось за 10 мин от 100 °C до 60 °С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20 °С. Когда тело остынет до 25 °C?

15. Тело нагрелось за 20 мин от 20 °С до 60 °С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 80 °С. Когда тело нагреется до 70 °С?

16. Тело охладилось за 10 мин от 100 °С до 60 °С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20 °С. Какова будет температура тела через 40 мин?

17. В сосуд, содержащий 1 воды при температуре 20 °С, опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 , удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75 °С. Через минуту вода нагрелась на 2°С. Когда температура воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1 °С? Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь.

18. Кусок металла с температурой градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от градусов до градусов. При разности температур печи и металла в градусов металл нагревается со скоростью градусов в минуту. Найти температуру металла через час.

19. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки – 10 , скорость ее через 4 с – 1 . Когда скорость уменьшится до 1 ? Какой путь может пройти лодка до остановки?

В задачах 20–22 использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, прямо пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент времени.

20. Найти закон, описывающий изменение количества радия с течением времени, если известно, что через 1600 лет останется половина начальной массы. Найти, какой процент окажется распавшимся по истечении 100 лет.

21. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?

22. Согласно опытам в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 . Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

23. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной 2 ?

Для составления дифференциального уравнения в задачах 24–25 за неизвестную функцию удобнее взять скорость. Ускорение силы тяжести считать равным 10 .

24. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 , а раскрыл парашют на высоте 0,5 . Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 . Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

25. Футбольный мяч весом 0,4 (принять 1 = 10 ) брошен вверх со скоростью 20 . Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 при скорости 1 . Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха?

В задачах 26–32 принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной , где – ускорение силы тяжести, –высота уровня воды над отверстием.

26. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 2R = 1.8 и высотой H = 2.45 через отверстие в дне диаметром

2r = 6 ? Ось цилиндра вертикальна.

27. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра.

28. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся вода?

29. Цилиндрический бак диаметром 2R = 1.8 и высотой H = 2,45 имеет отверстие в дне диаметром 2r = 6 . Ось цилиндра вертикальна. В начальный момент времени бак полностью заполнен водой. Какова будет высота воды в баке через 15 минут после начала истечения жидкости?

30. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Вся вода из полного бака вытекает за 15 мин. За какое время вытекает половина воды из полного бака?

31. Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 и высоты H = 10 , обращенного вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметром 0,5 , сделанное в вершине конуса?

32. В прямоугольный бак размером и высотой 80 поступает 1,8 воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью

2,5 . За какое время наполнится бак? Сравнить результат с временем наполнения такого же бака без отверстия в дне.

33. Найти атмосферное давление на высоте , если на поверхности земли давление равно 1 (принять 1 = 10 ) и плотность воздуха –0,0012 . Использовать закон Бойля – Мариотта, в силу которого плотность прямо пропорциональна давлению. Изменением температуры воздуха с высотой пренебречь.

34. Масса ракеты с полным запасом топлива равна , без топлива – , скорость истечения продуктов горения из ракеты равна , начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха (формула Циолковского).

Дата добавления: 2017-01-13