Аналітичний розрахунок масового оператора

Вступ

Анотація

Дипломна робота

ОКР «Магістр»

Виконала: студентка 5 курсу, групи 511м

спеціальності 7.04020301 –Фізика (за напрямами)*

(шифр і назва спеціальності)

Яхневич М.Я.

(прізвище та ініціали)

Керівник _ проф. Ткач М.В. _______

(прізвище та ініціали)

Рецензент _________________________

(прізвище та ініціали, кафедра, університет)

До захисту допущено:

Протокол засідання кафедри № 11

від „__” _______ 2015 р.

зав. кафедри_________проф. Ткач М.В.

Національна шкала ______________________

Кількість балів: _______Оцінка ECTS: _____

Голова ДЕК ______________Катеринчук В.М.

Чернівці–2015

Зміст:

1. Анотація…………………………………………………………………….3

2. Вступ………………………………………………………………………...4

3. §1 Аналітичний розрахунок масового оператора при Т≠0К……………6

4. §2 Аналіз поляронного спектру при скінченній температурі……….....15

5. Висновки…………………………………………………………………..19

6. Список літератури…………………………………………………….......20

7. Додаток1 “Охорона праці”…………………………………………...…..21

Використовуючи методи діаграмної техніки Фейнмана-Пайнса виконано дослідження властивостей перенормованого взаємодією з фононами поляронного спектру при різних значення константи зв’язку та при різних температурах.

Полярони – це носії струму в речовинах з іонним типом зв’язку, що знаходиться в особливому автолокалізованому стані, який виникає за раху-нок поляризації ними свого “оточення” в гратці.

Полярон, як квазічастинка, є електроном провідності в полярному кристалі,де він деформує іонну гратку у місці свого знаходження. Поляриза-ція кристалу, в свою чергу, створює потенціальну яму, яка діє на електрон і знижує його енергію. Отже електрон разом із супроводжуючим полем поля-ризації розглядається як квазічастинка, яка називається поляроном. Його ефективна маса більша, ніж ефективна маса блохівського електрона.

Проблема поляронів – це класична проблема фізики твердого тіла. Вона походить ще з 1933 р,коли вперше в роботі [1] Ландау пояснив властивості F-центрів в NaCl, висунувши ідею про автолокалізацію електрона. Концепція полярона була введена Ландау й Пекарем [2],які вперше розглянули граничний адіабатичний випадок, коли електрон-граткова взаємодія настільки сильна, що дозволяє описувати всі найбільш важливі властивості стаціонарного полярона, виходячи з уявлення про рух локалізованого електрона в створеному ним самим поляризаційному полі.

Існують декілька адекватних теорій полярона, які відповідають різній силі електрон-граткової взаємодії. При теоретичному вивченні руху електронів виникає одне загальне питання: як відділити ефекти розсіювання від ефектів перенормування енергії. При слабкій електрон-гратковій взаємодії це легко зробити за допомогою рівняння Больцмана для квазічастинок.

Метод матриці густини, що використовувався Фейнманом і співробітниками [3], створює теоретичну основу для побудови теорії руху поляронів великого радіусу у випадку слабкої взаємодії. Стрибкову провідність поляронів (СПП) малого радіуса вперше розглянули Ямашита[4] та Куросава [5],а також Холстейн [6]. Ці автори розвивали теорію збурень, в якій інтеграл перекриття між локалізованими сусідами розглядався як мале збурення. Теорія СПП приводить до температурної та частотної залежності стрибкоподібного руху.

Експериментальних робіт,які б пояснювали характерні властивості поляронів, на жаль, існує мало [8].

У відомих нам роботах недостатньо вивчена температурна залежність спектру полярона великого радіусу. Ця задача і є предметом вивчення у пропонованій роботі. Мета цієї дипломної роботи дослідити поведінку поляронного спектру у широкому діапазоні квазіімпульсів при різних значення константи α та при різних температурах системи.

Для того,щоб вивчити взаємодію з поляризаційними фононами спектр електрона при скінченній температурі системи будемо використовувати метод термодинамічних функцій Гріна. У рамках цього методу будемо описувати електрон-фононну систему гамільтоніаном Фреліха [9-12] у моделі діелектричного континууму та ефективних мас:

(1.1)

де (1.2)

- відомий квадратичний закон дисперсії електрона

(1.3)

енергія бездисперсійних фононів

(1.4)

функція електрон-фононного зв’язку з константою Фреліха:

(1.5)

Як відомо з загальної теорії функції Гріна [9], перенормування спектра електрон-фононної системи визначається полюсами Фур’є-образу поляронної функції Гріна, яка рівнянням Дайсона (вважатимемо ħ=1)

(1.6)

пов’язана з повним масовим оператором (), який в свою чергу визначається згідно з діаграмною технікою Фейнмана-Пайнса[10] таким безмежним рядом

(1.7)

У випадку Т=0К при слабкому електрон-фононному зв’язку у повному масовому операторі достатньо обмежитися однофононним масовим оператором, тобто масовим оператором другого порядку за степенем функції зв’язку

(1.8)

Здійснивши перехід від суми до інтеграла

(1.9)

будемо виконувати аналітичний розрахунок безрозмірного масового оператора , використовуючи безрозмірні енергію ξ та квазіімпульси ():

; ; (1.10)

Виконавши точний аналітичний розрахунок масового оператора (1.8) отримується остаточний аналітичний вираз для

(1.11)

Для перенормування дна зони достатньо розглянути випадок =0.Тоді:

(1.12)

і перенормований поляронний спектр визначається розв’язками безрозмірного дисперсійного рівняння:

(1.13)

Тепер перейдемо до вивчення перенормованого поляронного спектру при довільній температурі системи. При Т≠0К необхідно враховувати температуру,від якої залежать середні числа заповнення. Вважається, що числа заповнення електронних станів нехтовно малі, тому враховується тільки середні значення фононних чисел заповнення:

(1.14)

Згідно з правилами діаграмної техніки Фейнмана-Пайнса масовий оператор другого порядку за степенем функції зв’язку у цьому випадку визначається так:

(1.15)

У безрозмірних змінних отримаємо масовий оператор у вигляді:

(1.16)

який визначається в області безрозмірних енергій (-1;1). Масовий оператор в інших областях безрозмірних енергій отримується шляхом аналітичного продовження (1.16).

Розглянемо формулу (1.16). Вона описує залежність масового оператора від квазіімпульсу електрона та безрозмірної енергії. При К=0 отримаємо:

(1.17)

Аналіз і особливостей поляронного спектру на його основі буде виконано далі. Тут можна тільки зауважити,що оскільки в враховується взаємодія тільки з одним віртуальним фононом, то такий масовий оператор доцільно називати однофононним.

Розглянемо уточнений масовий оператор, який враховує не лише одно-, а й двофононні процеси у всіх порядках за константою зв’язку з урахуванням лише діаграм без перетинів фононних ліній.

(1.18)

Підставивши значення та в (1.18) отримаємо:

(1.19)

Тут враховано,що оскільки квазіімпульс пробігає однаковий спектр додатніх і від’ємних значень, то .

Перейшовши у внутрішній сумі до інтеграла та нових змінних, отримаємо:

У безрозмірних позначеннях та після здійснення внутрішнього інтегрування отримаємо масовий оператор в області зміни ξ<0

(1.20a)

Для енергій 0<ξ<2 масовий оператор матиме вигляд:

(1.20б)

Для енергій ξ>2 масовий оператора матиме вигляд:

(1.20в)

Подальші розрахунки інтегралів виконуються тільки числовими методами.

Дата добавления: 2015-07-13