Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Революционер-неудачник 3 страница




 

 

Поворот на 120° является симметрией равностороннего треугольника.

 

Другими словами, поворот на 120° есть симметрия равностороннего треугольника. Преобразование (поворот) сохраняет структуру (форму и расположение).

Оказывается, что у равностороннего треугольника имеется ровно шесть различных симметрий. Вторая — это поворот на 240°. Еще три — отражения, под действием которых один из углов треугольника остается на месте, а два других меняются местами. А в чем состоит шестая симметрия? В неделании ничего: оставьте треугольник в покое. Это тривиально, однако же удовлетворяет условиям, требуемым от симметрии. На самом деле это преобразование удовлетворяет определению симметрии вне зависимости от того, какой объект рассматривается и какое свойство должно сохраняться. Если ничего не делать, то ничего и не меняется.

Эта тривиальная симметрия называется тождественной. Она может показаться не очень важной, но если от нее отказаться, то вся математика пойдет вкривь и вкось. Происходящее будет похоже на выполнение сложения чисел в отсутствие нуля или умножения в отсутствие единицы. Если же мы включаем тождественное преобразование, то все хорошо.

 

 

Шесть симметрий равностороннего треугольника.

 

Для равностороннего треугольника можно представлять себе единичный элемент как вращение на 0°. На рисунке изображены результаты применения шести симметрий к нашему равностороннему треугольнику. Это в точности шесть различных способов, которыми вырезанный из картона и вынутый из плоскости треугольник можно наложить на его исходное положение. Пунктирные линии показывают, где надо расположить зеркало, чтобы получить требуемое отражение.

Теперь я собираюсь убедить вас в том, что симметрии — это часть алгебры. Для этого я сделаю то же, что сделал бы любой алгебраист: выражу все в символах. Обозначим шесть симметрий буквами I, U, V, P, Q, R согласно приведенному выше рисунку. Единичный элемент — это I ; два другие вращения суть U и V, а три отражения — P, Q и R . Те же самые символы я использовал выше для перестановок корней кубического уравнения. Для этого есть причина, которая, более того, скоро станет явной.

Галуа по максимуму использовал «групповое свойство» своих перестановок. Если применить любые две из них по очереди, то получится какая-то другая. Отсюда следует мощный намек на то, что нам следует делать с нашими шестью симметриями. Мы попарно «перемножим» их и посмотрим, что получится. Напомним соглашение: если X и Y — два преобразования симметрии, то произведение XY — это то, что получается, когда сначала применяется Y, а потом X .



Пусть, например, мы желаем узнать, что такое VU. Это означает, что сначала к треугольнику применяется U , а потом V . И вот U осуществляет вращение на 120°, а V затем вращает получающийся треугольник на 240°. Тем самым VU осуществляет вращение на 120° + 240° = 360°.

Ой, мы забыли включить это вращение.

Нет, не забыли! Если повернуть треугольник на 360°, то все вернется в точности туда, где было. А в теории групп важен конечный результат, а не путь, которым к нему пришли. На языке симметрий две симметрии считаются одинаковыми, если они приводят к одному и тому же конечному состоянию объекта. Поскольку VU дает тот же эффект, что тождественное преобразование, мы заключаем, что VU = I.

В качестве второго примера рассмотрим, что делает UQ . Преобразования выполняются следующим образом:

 

 

Как симметрии равностороннего треугольника соответствуют перестановкам.

 

Мы видим, чему равен результат перемножения симметрий: он равен P . Значит, UQ = P.

Из наших шести симметрий можно можно образовать тридцать шесть произведений, а вычисления можно свести в таблицу умножения. Получается в точности та же таблица, которая у нас была для шести перестановок корней кубического уравнения.

 

Обнаруженное совпадение дает пример одного из наиболее мощных методов во всей теории групп. Его истоки — в работах французского математика Камиля Жордана, до известной степени превратившего теорию групп из метода анализа решений уравнений в радикалах в самостоятельный предмет.

Около 1870 года Жордан привлек внимание к тому, что сейчас называют теорией представлений. Для Галуа группы были составлены из перестановок — способов перетасовки символов. Жордан начал задумываться о способах перетасовки более сложных пространств. Среди наиболее фундаментальных пространств в математике имеются многомерные пространства, а их самое важное свойство состоит в существовании прямых линий. Естественный способ преобразования такого пространства состоит в том, чтобы прямые линии оставались прямыми. Никаких изгибов, никаких скручиваний. Имеется много преобразований такого рода — вращения, отражения, изменения масштаба. Все они называются линейными преобразованиями.

Английский юрист и математик Артур Кэли открыл, что любое линейное преобразование можно связать с матрицей — квадратной таблицей из чисел. Любое линейное преобразование трехмерного, например, пространства можно задать, записав таблицу размером 3 на 3 из вещественных чисел. Так что преобразования можно свести к алгебраическим вычислениям.

Теория представлений позволяет начать с группы, которая не состоит из линейных преобразований, и заменить ее некоторой группой, состоящей из линейных преобразований. Преимущество конвертации группы в группу матриц состоит в том, что матричная алгебра является очень глубокой и мощной, и Жордан был первым, кто это увидел.

Взглянем на симметрии треугольника с Жордановой точки зрения. Вместо размещения разных кружков по углам треугольника я расставлю там символы a, b, c, соответствующие корням общего кубического уравнения. Тогда становится очевидным, что каждая симметрия треугольника также переставляет эти символы. Например, вращение U отправляет abc в cab .

Шесть симметрий треугольника естественно соответствуют шести перестановкам корней a, b, c . Более того, произведение двух симметрий соответствует произведению соответствующих перестановок. Но вращения и отражения в плоскости являются линейными преобразованиями — они сохраняют прямые линии. Так что мы по-другому интерпретировали группу перестановок — представили ее — как группу линейных преобразований, или, что то же самое, как некую группу матриц. Этой идее предстояло привести к глубоким следствиям как в математике так и в физике.

 

Глава 8

Посредственный инженер и трансцендентный профессор

 

Симметрия перестала быть туманным ощущением скрытого порядка или художественным восприятием изящества и красоты. Она превратилась в ясную математическую концепцию со строгим логическим определением. Появилась возможность вычислять симметрии и доказывать о них теоремы. Родился новый предмет — теория групп. Погоня человечества за симметрией достигла поворотной точки. В качестве платы за вход в сообщество посвященных требовалась готовность мыслить более концептуально. Концепция группы носила абстрактный характер, на несколько шагов удаленный от традиционного «простого продукта», состоящего из чисел и геометрических форм.

Группы уже доказали, чего они стоят, когда была решена вековая загадка — вопрос о разрешимости уравнений пятой степени. Вскоре стало ясно, что тот же круг идей позволяет разобраться и с несколькими другими задачами, неразрешимыми в течение веков. При этом не всегда привлекалась именно теория групп как таковая — порой требовалось рассуждать так, как рассуждали Абель, Галуа и их последователи. И даже когда казалось, что группы не используются, они на самом деле находились совсем рядом, под самой поверхностью вещей.

 

Среди нерешенных задач, доставшихся потомкам в наследство от греческих геометров, три приобрели вызывающую известность — задача о трисекции угла, задача об удвоении куба и задача о квадратуре круга. Даже сегодня трисекция угла и квадратура круга привлекают к себе внимание многочисленных любителей, которые, по-видимому, не вполне охватили своим умом то обстоятельство, что когда математики говорят «невозможно», то именно это и имеется в виду. Удвоение куба несколько отстает по уровню популярности.

Об этих трех задачах часто говорят как о «трех задачах Античности», но такое определение создает преувеличенное представление об их важности. Из-за него они как будто стоят в одном ряду с главнейшими загадками в истории, такими как Последняя теорема Ферма, на которую не удавалось дать ответ в течение более 350 лет. Однако отличие здесь в том, что все ясно сознавали: Последняя теорема Ферма — нерешенная задача, причем можно конкретно указать, когда именно она была впервые поставлена в математической литературе. Все математики были в курсе относительно не только самой задачи, но и предполагаемого ответа, а также относительно того, кто первым поставил этот вопрос.

Греческие задачи — иные. Их не найти у Эвклида в перечне нерешенных, требующих внимания задач. Они существовали главным образом по умолчанию, как очевидные попытки обобщить полученные ранее успешные результаты, но почему-то Эвклид предпочитал их не упоминать. Почему? Потому что никто не знал, как взяться за их решение. Приходило ли грекам на ум, что они могут вовсе не иметь решения? Если и так, то никто не поднимал по этому поводу шума. Без сомнения, таким людям как Архимед приходило в голову, что эти задачи невозможно решить, используя циркуль и линейку, поскольку он разработал альтернативные методы, однако нет никаких свидетельств, что сам по себе вопрос о возможности построения представлялся Архимеду важным.

Этот вопрос приобрел важность позднее. Отсутствие решений этих задач свидетельствовало о серьезных пробелах в достигнутом человечеством понимании геометрии и алгебры; они вошли в моду как «фольклорные» задачи, известные профессионалам через некое подобие культурного осмоса. К тому времени как было получено их решение, они приобрели ауру исторической и математической значительности. Их решение воспринималось как важнейший прорыв — в особенности это касалось квадратуры круга. И ответ во всех трех случаях был один и тот же: «невозможно». Невозможно с использованием традиционных инструментов — циркуля и линейки.

Такая ситуация может показаться достаточно негативной. На протяжении большей части жизни люди решают проблемы и преодолевают трудности с помощью самых разнообразных средств, какие только подворачиваются под руку. Если высокое здание нельзя построить из кирпича и раствора, инженеры используют стальную арматуру и железобетон. Никто не стяжал себе славы доказательством того, что кирпичи не подходят для данной стройки.

Математика устроена несколько иначе. Ограничения, присущие используемым инструментам, часто так же важны, как и успехи в их применении. Важность математического вопроса часто зависит не от ответа как такового, а от того, почему ответ оказывается правильным. Так обстояло дело и с тремя задачами Античности.

 

Гроза всех и вся трисекторов родился в Париже в 1814 году, а звали его Пьер Лоран Ванцель. Отец его был сначала армейским офицером, а потом профессором прикладной математики в Специальной коммерческой школе. Пьер опережал в своем развитии других детей; Адемар Жан Клод Барр де Сен-Венан, который знал Ванцеля, писал, что мальчик демонстрировал «потрясающие способности к математике — предмету, о котором он читает с огромным интересом. Вскоре он превзошел даже своего учителя, который обращался за помощью к девятилетнему Ванцелю, когда испытывал трудности при решении задач».

В 1828 году Пьер поступил в Коллеж Карла Великого. В 1831-м он был первым учеником и по французскому, и по латыни, а также показал первый результат на вступительных экзаменах как в Политехническую школу, так и на естественный факультет того, что сейчас называется Нормальной школой, — ранее такого не удавалось добиться никому. Его интересовало буквально все — математика, музыка, философия, история, и ничто не привлекало сильнее, чем жаркие, ожесточенные споры.

В 1834 году он обратился к инженерному делу, посещая занятия в Школе мостов и дорог. Но вскоре признался своим друзьям, что инженер из него выйдет «не более чем посредственный». Он решил, что на самом деле хочет преподавать математику, и оставил занятия инженерным делом. Такое резкое переключение принесло свои плоды: в 1838 году он начал читать лекции по анализу в Политехнической школе, а к 1841-му стал еще и профессором прикладной механики в своей старой инженерной школе. Сен-Венан говорит нам, что Пьер «обыкновенно работал в течение вечера, не ложась спать до поздней ночи, а затем читал, оставляя себе лишь несколько часов неспокойного сна и при этом злоупотребляя кофе и опиумом, а до своей женитьбы еще и неправильно и нерегулярно питаясь». Женился он на дочери своего бывшего учителя латыни.

Ванцель изучал работы Руффини, Абеля, Галуа и Гаусса, высказывая большой интерес к теории уравнений. В 1837 году его работа «О средствах, позволяющих установить, разрешима ли геометрическая задача с помощью циркуля и линейки» вышла в Лиувиллевском Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Вопрос о возможности построения рассматривался в ней начиная с того места, на котором остановился Гаусс. Ванцель умер в 1848 году в возрасте 33 лет — вероятно, в результате чрезмерной нагрузки из-за избытка преподавания и административных обязанностей.

 

В вопросах о трисекции угла и удвоении куба данные Ванцелем доказательства невозможности напоминают эпическую работу Гаусса о правильных многоугольниках, только являются намного более простыми. Я начну с задачи об удвоении куба, в которой суть дела очень наглядна. Можно ли циркулем и линейкой построить отрезок длины 3√2?

Выполненный Гауссом анализ правильных многоугольников основан на идее, что любое геометрическое построение сводится к решению ряда квадратных уравнений. По существу, он считает это само собой разумеющимся, поскольку это алгебраически следует из свойств линий и окружностей. Некоторые не слишком сложные алгебраические выкладки позволяют заключить, что для любой допускающей построение величины ее «минимальный многочлен» — простейшее уравнение, которому она удовлетворяет — имеет степень, равную степени двойки[29]. Это уравнение может быть линейным, квадратным, иметь степень 4, 8, 16, 32, 64… — одну из степеней числа 2.

С другой стороны, число 3√2 удовлетворяет кубическому уравнению x 3 − 2 = 0, и это[30]и есть его минимальный многочлен. Его степень равна 3, что не есть степень числа 2. Поэтому допущение о возможности удвоения куба с использованием циркуля и линейки в силу безупречной логики ведет к заключению, что 3 есть степень числа 2. Это очевидным образом неверно. Тем самым, методом reductio ad absurdum показано, что интересующего нас построения не существует.

Трисекция угла невозможна по схожим причинам, однако доказательство тут немного сложнее.

Во-первых, некоторые углы можно точно разделить на три части. Хороший пример дается углом 180°, который при делении на три части дает 60° — угол, который можно построить при построении правильного шестиугольника. Таким образом, доказательство невозможности следует начать с выбора некоторого другого угла и с доказательства, что этот угол нельзя разбить на три равные части. Проще всего взять уже появлявшийся у нас угол 60°. Одна треть от него составляет 20°, и мы покажем, что угол 20° построить циркулем и линейкой нельзя.

Вот отрезвляющие соображения. Возьмем транспортир — инструмент для измерения углов. На нем четко нанесены углы 10°, 20° и так далее. Но эти углы не вполне точные — хотя бы из-за того, что линии, которыми они обозначены, имеют некоторую толщину. Можно отмерить угол в 20° с достаточной точностью для архитектурных или инженерных чертежей. Но, используя эвклидовы методы, нельзя построить угол, в точности равный 20°; сейчас мы это покажем.

Ключевую роль здесь играет тригонометрия — наука о количественных мерах углов. Предположим, что мы начинаем с шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 1. Там имеются углы 60°, и если мы сможем разбить один из них на три равные части, мы сможем, тем самым построить отрезок, выделенный жирным на рисунке.

 

 

Трисекция угла 60° эквивалентна построению отрезка, длина которого обозначена буквой x .

 

Пусть его длина равна x . Тригонометрия говорит нам, что x удовлетворяет уравнению 8x 3 − 6x − 1 = 0. Как и в задаче об удвоении куба, это кубическое уравнение, и оно также представляет собой минимальный многочлен, которому удовлетворяет x . Но если бы отрезок длины x можно было построить, то степень его минимального многочлена была бы степенью числа 2. Мы пришли к тому же противоречию и к тому же выводу: данное построение невозможно.

Способ, которым я представил эти доказательства, скрывает более глубокую структуру. С более абстрактной точки зрения решения этих двух задач Античности Ванцелем сводятся к симметрийным аргументам: группы Галуа уравнений, которые отвечают геометрии, имеют «неправильную» структуру для построений циркулем и линейкой. Ванцель был хорошо знаком с группами Галуа и в 1845 году нашел новое доказательство того факта, что некоторые алгебраические уравнения нельзя решить в радикалах. Доказательство близко следовало идеям Руффини и Абеля, но позволяло упростить эти идеи и выразить их более ясно. Во введении Ванцель пишет:

 

Хотя доказательство [Абеля] в итоге является верным, оно представлено в настолько сложном и неясном виде, что не получило всеобщего признания. За много лет до того Руффини… рассматривал тот же вопрос еще более туманным способом… Размышляя о работах этих двух математиков, мы пришли к доказательству, представляющемуся настолько строгим, что оно устраняет все сомнения касательно этой важной части теории уравнений.

 

 

Единственной остающейся задачей Античности была квадратура круга, сводящаяся к построению отрезка, длина которого была бы точно равна π . Доказать невозможность такого построения оказалось намного сложнее. Почему? Дело не в том, что у числа π минимальный многочлен неправильной степени, а в том, что, как оказалось, у него вообще нет минимального многочлена — нет такого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, корень которого был бы равен π . Таким корнем может быть число, сколь угодно близкое к π , но невозможно получить в качестве корня точно число π .

Математики девятнадцатого столетия осознавали, что различие между рациональными и иррациональными числами можно было с пользой для себя сделать более тонким. Имелись иррациональные числа различных видов. Относительно «ручные» иррациональности, подобные √2, нельзя точно выразить в виде дроби (т.е. записать как рациональное число), но их можно представить, используя рациональные числа. Они удовлетворяют уравнениям, коэффициенты которых — рациональные числа; в случае числа √2 это уравнение x 2 − 2 = 0. Про такие числа говорят, что они алгебраические. Но математики осознали, что в принципе могут существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими, связь которых с рациональными числами намного менее прямая, чем для алгебраических чисел. Они во всем выходили за границы царства рациональности.

Самый первый вопрос состоял в том, действительно ли такие «трансцендентные» числа существуют[31]? Греки полагали, что все числа могут быть рациональными, пока Гиппас не развеял эти иллюзии, а Пифагор, как говорят, пришел в такое негодование, что велел выбросить за борт гонца, принесшего эту весть. (Более вероятно все же, что Гиппаса просто изгнали из пифагорейской школы.) Математикам девятнадцатого столетия было известно, что всякая вера в то, что все числа являются алгебраическими, равным образом должна была привести к трагедии, но в данном случае они довольно долго не могли найти своего Гиппаса. Все, что требовалось, — это доказать, что некоторое конкретное вещественное число — разумным кандидатом было число π — не является алгебраическим. Но уже достаточно трудно доказать, что некоторое число — например, π — иррационально, для чего надо убедиться в том, что не существует ни одной пары целых чисел, которая давала бы π в результате деления одного числа на другое. Чтобы доказать, что некоторое число не является алгебраическим, надо заменить эти гипотетические целые числа на все возможные уравнения любой степени, а затем прийти к противоречию. Дело сильно запутывается.

Первый значительный прогресс был достигнут немецким математиком и астрономом Иоганном Ламбертом в 1768 году. В работе о трансцендентных числах он доказал, что π иррационально, и его метод проложил дорогу всем последующим исследователям. Ламберт существенно использовал идеи из анализа, в особенности концепцию интеграла. (Интеграл заданной функции представляет собой функцию, скорость изменения которой есть исходная функция.) Исходя из предположения, что π в точности равняется некоторой дроби, Ламберт предложил вычислить достаточно сложный интеграл[32]изобретенный им специально для этой цели, куда входили не только многочлены, но и тригонометрические функции. Имеются два разных способа вычисления этого интеграла. Один из них дает в ответе нуль. Другой показывает, что ответ не равен нулю.

Если π — не дробь, то ни один из способов вычисления не применим, так что никаких проблем не возникает. Но если π — дробь, то, следовательно, нуль равен чему-то, что нулю не равно. Приехали.

Подробности доказательства Ламберта носят технический характер, но способ, которым оно работает, оказывается очень информативным. Для начала ему пришлось соотнести π с чем-то более простым, и на помощь в этом деле пришла тригонометрия. Следующая задача состояла в том, чтобы сконструировать такую ситуацию, в которой при рациональном π случилось бы нечто особенное. Именно тут в дело вступили многочлены — при поддержке умной мысли о том, что надо использовать некоторый интеграл. Затем доказательство свелось к сравнению двух различных методов вычисления этого интеграла и демонстрации того факта, что эти методы приводят к разным ответам. Это достаточно техническая и громоздкая часть доказательства, однако для специалиста она не представляет никаких сложностей.

Доказательство Ламберта было значительным шагом вперед. Однако же великое множество иррациональных чисел построить можно; наиболее очевидным примером такого числа является √2 — диагональ единичного квадрата. Таким образом, доказательство иррациональности числа π не означало, что построить его нельзя. Оно означало лишь, что бессмысленно было пытаться точно выразить π в виде дроби, но это совсем другая постановка вопроса.

 

Математики здесь встретились с необычной дилеммой. Они научились проводить различие между алгебраическими и трансцендентными числами и полагали, что это важно. Но они все еще не знали, существует ли хоть какое-нибудь трансцендентное число. В практическом плане предполагаемое различие могло оказаться бессодержательным.

Потребовалось время. Существование трансцендентных чисел было доказано лишь в 1844 году. Решающего прорыва в этой области добился Лиувилль. Ранее он извлек на свет божий из кипы академического хлама работы Галуа, а теперь сумел изобрести трансцендентное число. Оно выглядело следующим образом:

 

0,110001000000000000000001000…, —

 

где все более и более длинные последовательности нулей разделены отдельными единицами. Важное обстоятельство состоит в том, что количество нулей в этих последовательностях должно очень быстро возрастать.

Числа такого типа являются «почти» рациональными. Для них существуют необычайно точные рациональные приближения — главным образом из-за наличия длинных отрезков, состоящих из нулей. Например, в приведенном выше числе более длинный из таких отрезков состоит из 17 последовательных нулей, а это означает, что число, которое стоит перед этим, — то есть 0,110001 — служит намного лучшим приближением к числу Лиувилля, чем обычно получается для выбранной наугад десятичной дроби. Конечно, 0,110001, как и любая конечная десятичная дробь, рациональна — она равна 110001/1000000. Вместо точности в 6 десятичных знаков она дает точность в 23 десятичных знака. Следующая ненулевая цифра — это 1 на 24-м месте.

Лиувилль понял, что алгебраические числа, не являющиеся при этом рациональными, всегда довольно плохо приближаются рациональными. Дело не только в том, что такие числа иррациональны; для получения хорошего рационального приближения приходится использовать очень большие числа, чтобы записать близкую по величине дробь. Поэтому Лиувилль специально определил число, обладающее исключительно хорошими рациональными приближениями — слишком хорошими для того, чтобы это число могло быть алгебраическим. Поэтому оно должно было быть трансцендентным.

Единственное, за что можно критиковать эту умную идею, — это то, что число Лиувилля является очень искусственным. Не видно его связи с чем бы то ни было еще в математике. Оно взято из воздуха с единственной целью получить очень хорошие приближения рациональными числами. Оно было бы никому не интересно, если бы не это его единственное замечательное свойство: про него удается доказать, что оно трансцендентно. Математики, таким образом, убедились в существовании трансцендентных чисел.

Оставался вопрос, существуют ли интересные трансцендентные числа, но по крайней мере теория трансцендентных чисел приобрела смысл. Дело было за тем, чтобы наполнить ее интересным смыслом. Прежде всего, трансцендентно ли π ? Если да, то вопрос с древней задачей о квадратуре круга решается нокаутом. Все числа, допускающие построение, являются алгебраическими, следовательно, трансцендентные построить невозможно. Если π трансцендентно, то квадратура круга невозможна.

Число π вполне заслуженно знаменито из-за своей связи с окружностями и сферами. Кроме него математика содержит и другие замечательные числа, наиболее важное из которых — вероятно, даже более важное, чем π — известно как e . Его численное значение приближенно равняется 2,71828, и, как и π , оно иррационально. Это число появилось в 1618 году, на заре истории логарифмов; оно правильно определяет банковский процент, если вычислять сложные проценты по все более и более коротким отрезкам времени. В письме Лейбница к Гюйгенсу от 1690 года оно было обозначено буквой b . Обозначение e было введено Эйлером в 1727 году и впервые появилось в печати в «Механике» в 1736-м.

Используя комплексные числа, Эйлер открыл замечательное соотношение между e и π , которое часто называют самой прекрасной формулой во всей математике. Эйлер доказал, что eiπ = −1. (Эта формула допускает интуитивное объяснение, но там используются дифференциальные уравнения.) После сделанного Лиувиллем открытия следующий шаг к доказательству трансцендентности π занял еще 29 лет, и доказательство относилось к числу e . В 1873 году французский математик Шарль Эрмит доказал, что e трансцендентно. Жизненный путь Эрмита удивительно похож на жизненный путь Галуа — он поступил в Коллеж Людовика Великого, его учил Ришар, он пытался доказать неразрешимость уравнения пятой степени и хотел учиться в Политехнической школе. Но в отличие от Галуа, буквально цепляясь зубами, он туда все же попал.

Один из учеников Эрмита, знаменитый математик Анри Пуанкаре, заметил, что мозг Эрмита работал необычным образом: «Назвать Эрмита логиком! Ничто, на мой взгляд, не лежит дальше от истины. Создавалось впечатление, что методы возникают у него в голове каким-то непостижимым образом». При доказательстве трансцендентности числа e это сослужило Эрмиту добрую службу. Доказательство представляло собой развитое обобщение данного Ламбертом доказательства иррациональности числа π . В нем также использовался анализ; предлагалось вычислить некий интеграл двумя способами; и если бы e было алгебраическим, то два полученных ответа не совпадали бы: один равнялся бы нулю, а другой нет. Трудный шаг состоял в том, чтобы найти, какой именно интеграл надо вычислить.

Доказательство как таковое занимает около двух печатных страниц. Но что это за чудесные страницы! Можно было бы искать всю жизнь и не найти правильный интеграл.

Число e , по крайней мере, представляет собой «естественный» объект в математических исследованиях. Оно присутствует в математике повсеместно, и оно жизненно важно, в особенности в комплексном анализе и в теории дифференциальных уравнений. Хотя Эрмит и не продавил задачу о числе π , он по крайней мере продвинулся вперед по сравнению с достаточно искусственным примером Лиувилля. Теперь математики знали, что вполне обыденные математические операции естественным образом приводят к числам, которые оказываются трансцендентными. Один из последователей Эрмита вскоре использовал его идеи, чтобы доказать, что среди этих чисел есть и число π .





Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 6; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:





studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 107.22.60.105
Генерация страницы за: 0.107 сек.