Тура жол алгоритмі 3 страница

3-мысал: Х=2,1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.

болады. Сонда , .

4-мысал: көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.

екені белгілі. .

.

2-ДӘРІС ТАҚЫРЫБЫ: Бейсызықты бір теңдеудің түбірін табу.

1. Түбірлерді бөлектеу. (аралықты екіге бөлу) әдісі.

2. Жай итерация әдісі.

3. Ньютон (жанамалар) әдісі.

Дәріс тезисі:

Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер» болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.

Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:

1. алгебралық

2. трансцендентті.

Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.

Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.

Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.

1. Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.

2. Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару.

Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді.Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.

Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.

1.Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады.

2.Хорда әдісі.

3. Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі

4. Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.

Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі

F(x)=0 (1.1)

Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.

Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a)*f(b)<0, онда осы аралықта (1.1)-теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.

Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.

Кесіндіні қақ бөлу әдісі

(1.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі қадамнан тұрады.

1. (1.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу

2. Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін

X_орт=(X_n+1+X_n)\2. (1.2)

формуласымен анықтау.

3. X_n+1-X_n<e шарты арқылы қарастырылып отырған аралықтан шығып кетпеуді бақылаймыз.

4. X_ОРТ нүктесіндегі функция мәнін F(X_ОРТ) есептеу.

5. Егер оның таңбасы F(X_n) функциясының таңбасымен бірдей болса, X_n нүктесінің орнына X_ОРТ нүктесін қарастырамыз.

6. Ал егер F(X_ОРТ) функциясының таңбасы F(X_n+1) функциясының таңбасымен бірдей болса, X_n+1 нүктесінің орнына Х_ОРТ нүктесін қарастырамыз.

7. Шыққан аралықтар [X_n,, Х_орт] U [X_орт, X_n+1] белгіленеді.және алдыңғы шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі: F(X_n+1)*F(X_орт)<0 шарты орындалса [X_орт,X_n+1] аралығы қаққа бөлінеді де шыққан нүкте мәні, X_ОРТ2=X_ОРТ+ X _n+1/2 формуласымен есептеледі. F(X_n)*F(Х_ОРТ)<0 шарты орындалса [X_n, X_орт] аралығы қаққа бөлініп, табылған нүкте X_ОРТ2=X_ОРТ+ X _n/2 формуласымен есептеледі.

8. Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып, X_ОРТ, X_ОРТ2, X_ОРТ3, …, X_ОРТN тізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын уақытта X_ОРТN - X_ОРТN-1 <E іздеу процесін тоқтатамыз да X_ОРТN нүктесін (1.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.

Жай итерация әдісі

Бұл әдісті қолдану үшін (1.1)-ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып мына түрге келтіру керек:

(1.3)

Сосын теңдеудің түбіріне кез келген Х₀ бастапқы жуықтау беріп k=1,2,… формуласымен х₁, х₂,…,х_n нүктелер тізбегін құрамыз. Бұл тізбек x=z түбіріне жинақталуы керек. Егер limX_k=z болса, онда z нүктесі теңдеуінің түбірі бола алады. Итерация әдісінің жинақтылық шарты және бастапқы жуықтау кез келген болады. Итерациялық процесс берілген дәлдікке жетуі үшін шарты орындалуы керек.

Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де тексерілуі керек:

Теорема1.2.:

теңдеуінің [a,b] аралығында жалғыз түбірі бар және келесі шарттар орындалсын:

1) функциясы [a,b] аралығында анықталған және дифференциалданады;

2) үшін ;

3) барлық үшін болатындай q саны табылсын,

онда , (k=1,2,…) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы жуықтауда жинақталады.

Хорда әдісі

Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.

Алгоритмі:

1. х_n, x_n+1 аралығында f (x) және f (x_n+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.

2. Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз.

(1.4)

3. х^* нүктесіндегі функция мәнін F(x^*)-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (x_n) және f(x^*) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы x_n+1 және x^* нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (1.4) формуламен табады. Егер f(x_n+1) мен f(x^*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы x_n және x^* нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (1.4) формуламен есептелінеді.

4. x^* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x^* нүктесі (1.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.

Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады:

Ньютон әдісі

Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік:

Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a)*f(b)<0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x)*f^'(x)>0, онда f(x₀)*f^''(x₀)>0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b] лығында жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады.

Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (x_n;f(x_n)), болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбіріне х_n+1 – кезекті жуықтау болып табылады.

Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек: . Мұндағы М₂ – функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m₁- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз.

Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері

Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.5)

Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін анықтау.

Ньютон әдісі

Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x₀, y₀) таңдап аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:

Мұндағы якобиан деп аталады.

Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.

Қарапайым итерация әдісі

(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық түрге келтіріп алады: (1.6.)

Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:

n=0,1,2,... (1.7.)

Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.

Теорема 1.4: Әлдебір тұйық облыста (1.5)-ші

жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: . Егер:

1) және функциялары облысында анықталған және үзіліссіз болса,

2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса,

3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса:

(1.8)

онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни , .

Қателігін бағалау:

. M=max(q1;q2).

Кей жағдайда (1.6)-ші итерациялық процестің орнына Зейдель процесін қолдануға болады:

n=0,1,2,... (1.9)

Жүйені итерациялық түрге келтіру

(1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі тәсілдерді қолданған дұрыс.

, болсын. (1.10)

Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз:

(1.11)

Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап етуге болады.

3-ДӘРІС. Векторлар мен матрицалардың алгебрасы.

1. Векторлар мен матрицалардың алгебрасы.

2. Векторлар мен матрицалардың тізбегінің жинақталуы.

3. Нормалары. Қиюласқан нормалар.

4. Матрицалық геометриялық прогрессияның жинақталуы.

4-ДӘРІС. Матрица сипаттамасының белгісі-шарттасу саны.

1. Нашар және тәуір шарттасқан сызықты жүйелер.

2. Шартасқан матрицалар.

3. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі.

4. Сызықты теңдеулер жүйесін тікелей шешу әдістері.

5. Ортаганалдау әдісі.

6. Итерациялық әдістер: Жай итерация әдісі.

7. Зейдель әдісі.

8. Тиімді параметрлі итерациялық әдістер.

Дәріс тезисі:

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің 2 тәсілі бар:

1. тура шешу

2. жуықтап шешу

Тура шешу тәсілі жүйенің шешімін саны шектеулі арифметикалық операциялар көмегімен алуға мүмкіндік береді. Егер барлық операциялар дәл, яғни есептеу қателігінсіз жүргізілсе, тура шешім алынады. Тура тәсілдерге Крамер, Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер әдістері жатады. Бұл әдістер 10³ жоғары емес сандармен ЭЕМ көмегімен САТЖ-ның дәл шешімін анықтайды.

Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады. Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды. Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация, релаксация, градиентті т.б. Практикада бұл әдістерді 10⁶ ретті сандармен есептеу жүргізуде қолданады.

САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады, және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек ([8] қараңыз).

N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:

(2.1)

немесе векторлық-матрицалық түрде жазсақ:

Ax=b (2.2)

Мұндағы А-коэффициенттерден құралған матрица, х- белгісіздерден құралған вектор, b – бос мүшелерден құралған вектор.

Тура шешу тәсілдері

1. Гаусс әдісі.

(2.1.1)

(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.

Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:

1. тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.

2. кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.

Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады.

Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.

1. Тура жол:

басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (2.1.1)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз:

(2.1.2.)

мұндағы , (2.1.3)

(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х₁ белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-ші теңдеуді а₂₁, а₃₁,..., а_n1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып a_ij¹ деп белгілейміз:

(2.1.4)

Сонда келесідей жүйе аламыз:

(2.1.5)

Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а₂₂¹ элементіне бөліп, теңдеу аламыз:

(2.1.6)

мұндағы , (2.1.7)

х₁ белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х₂ белгісізін (2.1.5) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:

(2.1.8)

мұндағы

(2.1.9)

(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп

(2.1.10)

теңдеу аламыз. Мұндағы , (2.1.11)

(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х₃ белгісізін жоямыз.

Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:

(2.1.12)

2. Кері жол:

(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы x_n-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.

Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады.

2. Жордан – Гаусс әдісі.

Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.

(2.2.1)

1. Тура жол алгоритмі

1. (2.2.1) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.

2. элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен

элементті басшы элемент деп тағайындаймыз. Оны a_pq деп белгілейік.

3.Барлық мәндері үшін (2.2.2)

көбейткішін есептейміз.

4.Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол

элементтерін мүшелеп шегереміз:

(2.2.3)

Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге

айналады.

5.q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М₁ матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.

Дата добавления: 2017-01-14