Тура жол алгоритмі 9 страница

өрнегінде барлық және шамаларын санымен алмастырайық. Сонда теореманың шартына сәйкес

(25)

теңсіздігін аламыз. Алайда, . Ендеше (25) теңсіздігінен деген тұжырымға келеміз. Ал шекаралық есептің шарты бойынша . Бүл қарама-қайшылық жоғарыдағы ұйғарымның дүрыс еместігін көрсетеді. Теорема дәлелденді.

Дәл осы жолмен мына теореманы да дәлелдеуге болады.

Теорема-2. Егер қандай да бір торлық функция үшін ішкі тораптарында болса, онда функциясы -да теріс минимумға ие бола алмайды.

Бұл екі теоремадан мынадай маңызды қорытынды шығарамыз: (19)-(20) айырымды шекаралық есебінің шешімі өзінің ең үлкен және ең кіші мәндеріне тек қана шекаралық тораптарда ғана ие бола алады.

Енді 1 және 2 –теоремаларын пайдаланып, (21)-(22) айырымдық есебінің бір ғана шешімі бар болатындығын дәлелдейміз. Ол үшін (21)-(22) жүйесіне сәйкес келетін

(26)

(27)

біртекті жүйенің тек шешімі бар екендігін дәлелдесек жеткілікті. Бұл тұжырым 1 және 2 теоремаларында дәлелденген принциптерден келіп шығады. Шынында да, егер (26)-(27) біртекті теңдеуінің қандай да бір ішкі торабында шешімі бар болса, онда болғандықтан, 1 және 2 –теоремалары бойынша функциясы өзінің ең үлкен оң немесе ең кіші теріс мәндеріне -да ие болуы тиіс. Алайда, -да . Сондықтан бола алмайды. Демек, (24)-(27) біртекті жүйесінің шешімі тек болады.Ендеше(21)-(22) есебінің бір ғана шешімі бар.

Дәл осыған ұқсас жолдармен Нейман және Ньютон есептерін жуықтайтын айырымдық схемалардың да бір ғана шешімдері бар болатындығы дәлелденеді.

13-ДӘРІС. Эллиптикалық теңдеу.

1. Пуассон теңдеуі үшін Дирихле есебіне сәйкес келетін айырымдық есеп, оған максимум принципі.

Ыдырату әдісінің негізінде қуалау әдісін пайдаланып итерацияны жүзеге асыру алгоритмі

1.3. Пуассон теңдеуі қойылған Дирихле есебі.

Пуассон теңдеуі-эллипстік теңдеулердің ішіндегі жан-жақты зерттелген теңдеулерінің бірі. Оған үш түрлі шекаралық есептер қоюға болады. Солардың негізгісі-Дирихле есебі болып табылады.

1.3.1. Дирихле есебін жуықтату

Дифференциалдық теңдеулер теориясында мынадай теңдеу

(28)

Пуассон теңдеуі деп аталады. Дирихле есебі бойынша (28)теңдеуінің ( -ішкі облыс, -шекаралық облыс) облысында әрі анықталған, әрі үзіліссіз, ал Г-да

(29)

берілген мәнін қабылдайтын шешімі ізделеді.Мұндай есеп математикалық физика теңдеулер теориясында кеңінен зерттелген. Оның әр түрлі координаттар жүйесіндегі шешімдері және олардың есептеу формулалары да анықталған. Алайда бұл формулалар есептеуге өте қолайсыз. Сондықтан да Дирихле есебін шешу үшін көбінесе есептеу алгоритмдері жеңіл болатын торлар әдісі қолданылады.

(28)-(29) есебін мына айырымдық есебімен жуықтатамыз

(30)

(31)

(30)- айырымдық теңдеуінің жуықтау дәлдігі төмендегі бағалаудан анықталады

,

Ал (31) айырымды шекаралық шарттың жуықтау дәлдігі оны қандай әдіспен жуықтатуына байланысты болады. Мәселен, көшіру әдісі қолданылса,онда

Ал енді шекаралық шартты Коллатц әдісін қолданып жуықтатсақ, онда

болатыны белгілі.

1.3.2. Айырымдық Дирихле есебінің орнықтылығы

Мүнда (30)-(31) айырымдық есебінің орнықты схема болатынын көрсетеміз. Ол үшін мына теореманы дәлелдейік.

3-Теорема. Егер облысында анықталған қандай да бір және екі торлық функциялары үшін ішкі тораптарда

()-да, (32)

ал шекаралық тораптарда

()-да (33)

теңсіздіктері орындалса, онда –да

(34)

бағалауы орындалады.

Дәлелдеуі. Теореманың шартында берілген (32)-(33) теңсіздіктерін біріктіріп мына түрде жазуға болады

. ( -да),

( -да).

Демек, 2-теоремаға сәйкес функциялары –да теріс минимум мәндеріне ие бола алмайды.Алайда, -да: және .Ендеше -да және , яғни -да және .Демек, . Теорема дәлелденді.

Енді (30)-(31) айырымдық есебінің шешімін

(35)

түрінде іздейміз. Мұндағы және функцияларын төмендегі шекаралық есептердің шешімдері ретінде аламыз

(36)-(37)

және

(38)-(39)

Дәлелденген 2 және 3 теоремалары кез-келген және функциялары үшін орындалады. Сондықтан да (6.2.9)-(6.2.10) есебінің шешімі ең үлкен мәнге тек –да ие болады, яғни

(40)

Демек,

(41)

Енді функциясының нормасын бағалаймыз. Ол үшін 3-теоремадағыдай –ды жоғарыдан шектейтін функцияны құрамыз.

Айталық, тіктөртбұрышы облысын қамтитын ең кіші тіктөртбұрыш болсын (1-сурет). Осы –да функциясын енгіземіз, мұндағы . Енді мына теңдеуді зерттейік:

Бұл-ортасы , ал радиусы болатын шеңбердің теңдеуі. Егер болса, онда .Сонымен қатар болғанда ғана болады. Алайда, нүктесі облысында жатпайды. Сондықтан , яғни оң мәнді функция. Біз

болатынын көрсетеміз. Жоғарыда енгізілген функциясы үшін

теңдігі орындалады. Себебі .

Демек,

Ал –да (40) шартына сәйкес

Сонымен және торлық функциялары үшін

-да,

-да

Ендеше 3-теоремасы бойынша

Бұл жәрде нормаға өтсек, онда

(42)

бағалауын аламыз. Енді (41) және (42) бағалауларын пайдаланып, (36)теңдігін бағалаймыз

Демек, (30)-(31) айырымдық Дирихле есебі орнықты схема.

1.3.3. Жуық шешімнің жинақтылығы және оның қателігін бағалау

Егер шекаралық тораптары шекарада жатса немесе (28) шекаралық шарты Коллатц әдісі арқылы жуықтатылса, онда (30)-(31) айырымдық есебінің жалпы жуықтау дәлдігі шамасында, ал басқа жағдайларда болады. Сонымен қатар (30)-(31) орнықты схема. Демек, Лакс теоремасы бойынша

шегі орындалады, яғни әрбір нүктесінде жуық шешім дәл шешімге жинақталады.

Енді осы жинақтылықтың жинақталу жылдамдығын бағалайық. Алдымен (30)-(31) схемасын мына түрде жазайық:

(43)

(44)

(45)

(46)

Мұндағы жуықтау қателігі:

Содан кейін (43)-(44) теңдіктеріне сәйкес (45)-(46) теңдіктерін шегереміз, сонда

немесе

(47)

(48)

Демек, қателігі (47)-(48) айырымдық есебінің шешімі. Осы шешімін

қосынды түрінде қарастырайық. Мұндағы және торлық функцияларын

(49)-(50)

және

(51)-(52)

айырымдық есептерінің шешімдері деп аламыз.

Бірінші пункте дәлелденген 1 және 2 теоремаларына сәйкес (51)-(52) есебінің шешімі өзінің ең үлкен мәніне шекарада ие болады, яғни

Ары қарай екінші пунктте баяндалған жолмен 3 теореманы пайдаланып, (49)-(50)есебінің шешімін былайша бағалаймыз:

Демек,

(53)

Ал егер (29) шекаралық шарты Коллатц әдісі арқылы жуықтатылса, онда

(54)

бағалауы орындалады. Мұндағы

Жоғарыда алынған (53) және (54) бағалаулары есептеу тәжірибесінде сирек қолданылады, өйткені олар шешімінің туындыларын білуді қажет етеді. Ал ол болса қосымша қиыншылықтар туғызады.

Торлар әдісін қолдану арқылы анықталған жуық шешім қателігінің реті –ге тең болсын, яғни

Мұндағы –қа тәуелсіз тұрақты сан. Сондай-ақ және айырымды шекаралық есептің тор қадамдары және болған кезде анықталған жуық шешімдері деп қарастырайық.

Онда

деп жазуға болады. Жоруымызға сәйкес

Олай болса

Бұдан

Егер шекаралық шартты Коллатц әдісімен жуықтатсақ, онда болады. Бұл жағдайда жуық шешімінің қателігі

жуық теңдігімен бағаланады. Осы баяндалған әдісті, әдетте Рунге ережесі деп атайды.

1.4. Пуассон теңдеуіне қойылатын Дирхле есебін тіктөртбұрышта шешу

Эллипстік теңдеулерге қойылған шекаралық жүйелерді әр түрлі әдістермен шешуге болады. Егер шекарасы құрақты тегіс қисықтардан тұратын болса, онда алгебралық жүйенің матрица құрамында қандайда бір заңдылықтың бары байқалмайды. Алайда, тіктөртбұрыш немесе квадрат болғанда, матрицаның элементтері белгілі бір тәртіппен орналасады. Мәселен, ол көбінесе үшдиагоналды клеткалы матрица болып келеді. Мұндай жағдайда алгебралық жүйені шешу үшін белгілі қуалау әдісін қолдану қолайлы болатыны белгілі жай. Сондай-ақ бұл жерде итерациялық әдістерді де пайдалану едәуір жеңілдейді.

Айталық, тіктөртбұрышында төмендегі Пуассон теңдеуіне қойылған Дирихле есебі берілсін

(55)

(56)

Сондай-ақ (55)-(56) Дирихле есебінің шешімі және үзіліссіз дифференциалданатын дербес туындылары бар функция болсын. Осы Дирихле есебін торлар әдісімен шешу мәселесіне тоқталып өтейік.

тіктөртбұрышында

айырымдық торын енгіземіз. Сонда облысы тор облысымен алмастырылады. Мұндағы

,

-ішкі тораптар, ал - -шекаралық тораптар жиыны.

Содан кейін облысының әрбір торабында (55) Пуассон теңдеуін мынадай айырымдық теңдеумен жуықтатамыз:

(57)

Бұл айырымдық теңдеудің жуықтату дәлдігі- шамасына тең. Енді айырымдық тор шекарасы шекарасында жататындай етіп таңдап алынды делік. Сонда (56) шекаралық шарты былайша жуықталады

(58)

яғни . Демек (56) шекаралық шарттары дәл жуықталады. Ендеше (57)-(58)айырымдық Дирихле есебінің жалпы жуықтау дәлдігі шамасында бағаланады. Ал мұндай дәлдікке (57)-(58)есебі және үзіліссіз дифференциалданатын туындылары бар шешімдер жиынында ие болады. Сонымен бірге (57)-(58)-орнықты схема.

Дата добавления: 2017-01-14