Решение системы канонических уравнений

Специальные конечные элементы (КЭ 51, 53,54,55)

Предназначены для ограничения линейных и угловых перемещений по направлениям осей координат, для введения связей конечной жесткости по направлениям осей координат, а также для учета податливости материала между смежными узлами (например, податливость ростверка или металлических прокладок между элементами).

КЭ, моделирующий связи конечной жесткости (тип КЭ-51)

Данный КЭ применяется для введения связи конечной жесткости по направлению одной из осей глобальной или локальной системы координат узла. Так, например, для степени свободы Z конечный элемент позволяет смоделировать работу пружины или упругого основания.

Законтурный двухузловой КЭ упругого основания (тип КЭ-53)

Данный КЭ применяется для моделирования отпора полосы грунта за пределами плиты. Полоса грунта при этом располагается перпендикулярно к контуру плиты. Учет отпора за контуром происходит за счет работы грунта на сдвиг. В каждом из узлов имеется по одной степени свободы – перемещение вдоль глобальной оси Z.

Законтурный одноузловой КЭ упругого основания (тип КЭ-54)

Данный КЭ применяется для моделирования отпора угловой зоны грунта, примыкающего к углу плиты. Учет отпора в зоне, примыкающей к углу, происходит за счет работы грунта на сдвиг. В каждом из узлов имеется по одной степени свободы – перемещение вдоль глобальной оси Z.

КЭ, моделирующий упругую связь между узлами (тип КЭ-55)

Данный КЭ предназначен для учета податливости материала между смежными узлами. Элемент описывается двумя узлами, в каждом из которых имеется по шесть степеней свободы, определенных относительно осей глобальной системы координат. Таким образом, элемент позволяет смоделировать как линейную, так и угловую податливость связи относительно осей X, Y, Z общей системы координат. Узлы, между которыми моделируется податливость, могут иметь одинаковые координаты.

Конечный элемент приспосабливается к признаку схемы.

После того, как заданная конструкция представлена в виде конечно-элементной схемы, задача об определении перемещений узлов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида

АХ=В (2.1)

где: А - симметричная положительно определенная матрица размером N * N;

В - матрица правых частей (загружений) размером N * k (k= количество загружений);

Х — искомая матрица перемещений размером k * N.

Поскольку в большинстве случаев матрица А является разреженной, то для уменьшения требуемой оперативной памяти, внешней памяти и времени счета предварительно производится упорядочение неизвестных системы (2.1) с целью минимизации профиля матрицы. Реализовано несколько методов упорядочения, а именно, обратный алгоритм Катхилла-Макки, алгоритм «фактор деревьев», метод вложенных сечений и алгоритм параллельных сечений. Пользователю предоставлена возможность выбора метода упорядочения. По умолчанию используется обратный алгоритм Катхилла-Макки, так как у этого метода минимальные запросы к оперативной памяти. Конкретные рекомендации для выбора метода упорядочения не могут быть даны, так как эффективность того или иного алгоритма существенно зависит от структуры конкретной матрицы А.

Для решения системы (2.1) предварительно производится треугольное разложение матрицы А.

Если в процессе треугольного разложения матрицы А выясняется, что А вырождена, то производится автоматическое наложение связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость. При этом пользователю предоставляется информация о номерах узлов и номерах степеней свободы, по которым произведено наложение связей. В этом случае рекомендуется внимательно проанализировать расчетную схему и выяснить происхождение геометрической изменяемости конструкции.

Дополнительным сервисным средством является контроль решения системы (2.1). При появлении сообщения о большой величине ошибки решения, которое,как правило, является следствием плохой обусловленности матрицы А, следует внимательно проанализировать величины перемещений узлов и убедиться в том, что полученное решение является приемлемым с инженерной точки зрения.

Дата добавления: 2017-01-14