Интернет-ресурсы 1 страница

ПРИКЛАД 2.

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера (метод визначників), методом Гаусса та матричним, порівняти результати.

= =32+6+6+12-8+12=60;

=64+22+22+44-16+44=180;

=88-24-33+33+44-12*4=88-20-48=60;

=88-33-24-16*3+44+33=88-28=60;

x = = =3 x = = =1 x = = =1

Перевірка

2·3-1-1=4 4=4

3·3+4-2=11 11=11

3·3-2+4=11 11=11

Метод Гаусса:

; 10х₃=10 x₃=1; 11 x₂ - х₃=10 x₂=1;

2 x₁- х₂ -х₃ =4 x₁ = 3.

Метод оберненої матриці

А= ; =60

А = ·

x= ; b= ; X= А ·b

А = = 16-4= 12 А = - = -(-4-2)=6

А = - = -(12 + 6)= -18 А = =8+3=11

А = = -6 -12= -18 А = - =1

А = = 2+4= 6

А = - = +4-3= 1

А = = 8+3= 11

А =

Перевірка

А· А = = = ;

X= А ·b= * = ;

x =3;

x =1;

x =1.

2. Елементи векторної алгебри

Завдання з векторної алгебри спрямовані на засвоєння основних означень векторної алгебри, скалярного, векторного і мішаного добутків.

Вектор – величина , повністю визначена своїм напрямом і довжиною. Проекції вектора на координатні осі називають його координатами (декартовими): =().

Якщо відомі координати початку і кінця вектора , де M() та N(), то за формулою (або ) можна визначити його модуль (довжину).

Якщо - кути, що складає вектор з осями координат, то є напрямними косинусами вектора .

Тоді , , і .

Орт вектора позначається , а .

Скалярним добутком двох векторів і називають число, що дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:

.

В координатній формі скалярний добуток має вигляд: ,

тому косинус кута можна знайти за формулою:

.

Властивості скалярного добутку:

1) (комутативність);

2) (дистрибутивність);

3) (для будь-якого l);

4) .

Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Вектори паралельні, якщо їх координати пропорційні.

Щоб знайти проекцію вектора на вектор , ми користуємося формулою пр Векторним добутком векторів і називають новий вектор , який визначається трьома умовами:

1) ;

2) перпендикулярний як до , так і до ;

3) впорядкована трійка векторів , та , відкладених від однієї точки, утворює правий базис (правило “буравчика”).

В координатній формі .

Властивості векторного добутку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) (якщо вектори та паралельні).

Площу паралелограма, побудованого на векторах та , обчислюємо за формулою:

S_парал.= , а площу трикутника можна обчислити за формулою S_трик.= .

Мішаним (скалярно-векторним) добутком трьох ненульових некомпланарних векторів , та називають число, абсолютна величина якого дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, що виходять з однієї точки.

Це число додатнє, якщо трійка векторів утворює правий базис.

В координатній формі мішаний добуток знаходимо як визначник: .

Властивості мішаного добутку: ;

Якщо вектори , та компланарні (тобто належать одній або паралельним площинам), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Якщо вектор можна представити у вигляді , де - деякі числа, що одночасно не дорівнюють нулю, то говорять, що вектор розкладений за векторами .

Теорема. Нехай маємо три некомпланарні вектори , та . Будь-який вектор може бути єдиним образом розкладений за цими векторами, тобто існують єдині такі числа , що .

У координатній формі це рівняння перетворюється у систему лінійних рівнянь, де невідомими є числа .

Завдання №1 (варіанти наведені у таблиці 3.3).

Скласти вектори ; та . Знайти:

1) модулі векторів , та ;

2) орти векторів , та ;

3) кут між векторами , і ;

4) скалярний добуток ;

5) векторний добуток ;

6) мішаний добуток ;

7) обчислити вираз ;

8) побудувати на площині вектор , якщо , (користуючись правилом паралелограма або трикутника); вектори та брати довільними;

9) розкласти вектор у векторному базисі , , (перевірити спочатку, що вектори , , лінійно незалежні).

3. Аналітична геометрія

Пряма на площині. На площині, де введена прямокутна система координат XOY, розглянемо пряму АВ з заданою точкою М₀(x₀;y₀).

Канонічне рівняння прямої на площині: , де - напрямний вектор прямої, що паралельна прямій АВ.

М₀(x₀;y₀).

x

A

y

Пряму можна описати і іншими способами:

1) рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

B

,

де - кутовий коефіцієнт або тангенс додатнього кута, який утворює пряма з додатнім напрямком вісі Ox;

2) рівняння прямої, що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом

;

3) рівняння прямої, що проходить через дві задані точки: , де М₁(x₁;y₁) та М₂(x₂;y₂) – відомі точки прямої;

4) загальне рівняння прямої: , де - нормальний вектор, що направлений перпендикулярно до прямої;

5) рівняння прямої у відрізках: , де та - відрізки, що відсікає пряма від осей координат;

6) нормальне рівняння прямої: , де - перпендикуляр, який опущено на пряму з початку координат, а кут - це кут між цим перпендикуляром і віссю Ox..

Якщо будь-яке загальне рівняння помножити на множник (знак береться протилежним знаку С), то отримаємо нормоване рівняння прямої.

Відстань від точки М₀(x₀;y₀) до заданої прямої обчислюємо за формулою

.

Координати точки С, яка поділяє пряму АВ на частини, які мають відношення довжин , обчислюються за формулами

; .

Паралельність прямих доводиться рівністю їх кутових коефіцієнтів. Перпендикулярність прямих з кутовими коефіцієнтами та визначається співвідношенням . Кут між прямими можна обчислити за формулою . Відстань між двома точками площини обчислюється за формулою .

Площина. Будь-яка площина у просторі описується лінійним рівнянням

(1)

і навпаки, будь-яке рівняння (1) у просторі описує деяку площину. Щоб скласти рівняння площини у просторі, достатньо задати точку М₀(x₀;y₀;z₀), через яку вона проходить, і вектор , перпендикулярний площині (нормальний вектор площини). Тоді будь-який вектор , що належить площині, буде перпендикулярним до , тобто . Це і є векторне рівняння площини.

У координатній формі маємо .

Щоб скласти рівняння площини, що проходить через три точки М₀(x₀;y₀;z₀), М₁(x₁;y₁;z₁) та М₂(x₂;y₂;z₂), треба виконати умову комплaнарності трьох векторів , та , де М(x; y; z) – довільна точка площини, тобто маємо . Мішаний добуток обчислюємо як визначник, складений з координат векторів. Відстань від точки М₀(x₀;y₀;z₀) до площини обчислюємо за формулою

Дата добавления: 2017-01-14