Краткие теоретические сведения.

Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Задачи.

Формула Байеса

Краткие теоретические сведения.

1. Формула полной вероятности

где - несовместные события, образующие полную группу (гипотезы), - интересующее нас событие.

1. На сборку поступают детали с трех станков-автоматов. Известно, что первый станок дает 0,2% брака, второй – 0,1% брака и третий 0,3% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 1000, и с третьего – 1500 деталей.

2. Предприятие собирается заключить контракт на поставку автобусов. При благоприятной конъюнктуре рынка вероятность заключения контракта оценивается в 0,65, при неблагоприятной - в 0,3. По оценкам экспертов вероятность неблагоприятной конъюнктуры равна 0,4. Чему равна вероятность заключения контракта?

3. При слиянии двух коммерческих банков эксперты полагают, что финансовая операция принесет успех с вероятностью 0,75 при стабильном состоянии рынка ценных бумаг, и с вероятностью 0,2 – в противном случае. Вероятность стабильного состояния рынка ценных бумаг оценивается в 0,7. Чему равна вероятность успеха финансовой операции?

4. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,02, а в период экономического спада – 0,08. Вероятность экономического роста оценивается в 0,7. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет кредит?

5. Психологические тесты показали, что молодежь и люди среднего возраста по-разному реагируют на некоторые обстоятельства. Было выяснено, что 80% людей среднего возраста позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40% молодежи реагирует на них негативно. 25 людей среднего возраста и 5 молодых людей заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предполагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнил молодой человек?

6. На предприятии установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной сигнализации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что аварийный сигнал сработал. Чему равна вероятность того, что он сигнализирует о реальной аварийной ситуации?

7. Эксперт условно подразделяет экономическую ситуацию в регионе на “хорошую”, “посредственную” и “плохую” и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,6; 0,3 и 0,1 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,7, когда ситуация “хорошая”, с вероятностью 0,3 – когда ситуация посредственная и с вероятностью 0,1 –когда ситуация плохая. Пусть в настоящий момент времени индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика региона на подъеме?

8. Количество акций, представленных тремя различными предприятиями на наличный рынок, относится как 2:5:3. Вероятности того, что акции будут котироваться по 250 у.е. за каждую, соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Известно, что цена случайно выбранной акции оказалась равной 250 у.е. Найти вероятность того, что акция представлена третьим предприятием.

9. Для улучшения качества радиосвязи используется два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8 и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.

10. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше – если он идет сдавать первым, или если вторым?

11. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06 – если – если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

12. 5% мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что женщин и мужчин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек а) мужчина, б) женщина.

13. Схема обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.

14. В высшее учебное заведение поставляются компьютеры от трех предприятий. Компьютеры, поступающие от этих предприятий, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96%, 92% и 94% случаях. Найти вероятность того, что купленный компьютер не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

15. Сообщение может передаваться по одному из 10 каналов связи; из них 4 канала находятся в отличном состоянии, 3 – в хорошем, 2 – в посредственном, и 1 – в плохом. Вероятности правильной передачи сообщения для разного вида каналов равны соответственно 0,6; 0,4; 0,2; 0,1. Какова вероятность того, что хотя бы один раз сообщение будет передано, если оно передается по одному и тому же каналу, выбранному наудачу: а) один раз; б) два раза?

16. Вероятность отказа датчика при воздействии на него только вибрации равна 0,02, а только ультрафиолетового облучения – 0,01. Вероятность отказа при совместном воздействии вибрации и ультрафиолетового облучения равна 0,05. При эксплуатации вероятность возникновения ультрафиолетового облучения равна 0,1, а вероятность возникновения вибрации – 0,25. Облучение и вибрация возникают независимо. Найти вероятность выхода датчика из строя.

O

17. Экспедитору необходимо доставить товар из пункта О в пункт М в незнакомой ему местности. С какой вероятностью он выполнит данное задание?

18. На двух стендах расположены электротехнические устройства, содержащие электронные платы. На первом стенде две платы изготовлены 10 месяцев назад, три - 8 и 5 – 6 месяцев назад соответственно. На втором стенде три платы изготовлены 10 месяцев назад, три – 8 месяцев, и 6 плат – 6 месяцев назад. В процессе испытаний возникла необходимость в модернизации устройств, в результате чего одна из плат второго стенда оказалась на первом стенде. Найти вероятность того, что две произвольные платы первого стенда после модернизации созданы более 6 месяцев каждая.

19. В магазин от первого предприятия поступило 20 изделий, от второго – 10 и от третьего – 70. Вероятность некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 2%; 3% и 5%. Определить вероятность получения некачественного изделия.

20. Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции предприятия в следующем году составит 0,85, если экономика страны будет на подъеме, и 0,35, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,75. Оценить вероятность того, что акции предприятия поднимутся в следующем году.

21. В ящике содержатся одинаковые изделия, изготовленные двумя станками: 30% изделий изготовлено первым станком, остальные – вторым. Брак в продукции первого станка составляет 4%, второго - 3%. Найти: а) вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным; б) вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

22. В трех коробках лежат предохранители. В первой находится 6 предохранителей первого типа и 4 второго типа, во второй – 5 первого и 5 второго типа, в третьей – 10 первого. Наугад выбирается одна коробка и из нее наугад извлекается предохранитель. Какова вероятность того, что он второго типа?

23. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки: первая 15 счетов, вторая -10, третья – 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

24. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго – 1%. Изделия выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

25. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Нормальный режим полета составляет 80% времени полета, перегрузка – 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.

26. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара равна 0,25. Вероятность выпуска конкурирующего товара равна 0,35. Найти вероятность того, что товар будет иметь успех.

27. Вторая смена в цехе производит в два раза меньше изделий, чем первая, а брак у нее в 1,5 раза больше. Детали от обеих смен поступают на сборку. Взятая оттуда деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она сделана второй сменой.

28. Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с вероятностью 0,1. Практика показала, что в 15% случаев на экран оператора попадает помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал получен действительно от самолета.

29. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% - другие банки, остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита равны 0,01; 0,05 и 0,2 соответственно. Найти: а) вероятность невозврата очередного запроса на кредит; б) вероятность того, что данный кредит не возвращает какой-то банк.

30. На вход приемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует сигнал, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел?

31. На распределительную базу с трех фабрик поступают одинаковые изделия. Известно, что 35% изделий поступило с первой фабрики, 20%– со второй и 45% - с третьей. Вероятность изготовления изделия высшего качества для первой фабрики равна 0,92, для второй – 0,98, для третьей - 0,9. Определить вероятность того, что два изделия, взятых с базы наугад, будут высшего качества.

32. По каналу связи передается цифровой текст, содержащий только три буквы A, B, C, которые могут появляться в тексте с равной вероятностью. Каждая передаваемая буква в силу наличия шумов принимается правильно с вероятностью 0,9 и с вероятностью 0,1 принимается за какую-либо другую букву. Буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано BBB, если принято ABC.

33. Инвестор вложил капитал в акции двух предприятий. Он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первого предприятия с вероятностью 0,9; от второго – с вероятностью 1. Однако есть возможность банкротства предприятий независимо друг от друга, которая оценивается для первого вероятностью 0,1; для второго – 0,02. В случае банкротства предприятия инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?

34. В течение года две фирмы могут обанкротиться независимо друг от друга с вероятностями 0,06 и 0,09. Определите вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.

1. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие появится ровно раз, определяется по формуле Бернулли

,

где - вероятность успеха, - вероятность неудачи ().

2. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях заключено между числами и . Если число np+p нецелое, то наивероятнейшее число (целая часть), в противном случае имеется два значения и .

3. Если вероятность наступления события от опыта к опыту изменяется, то задача решается с помощью производящей функции .

Коэффициент при члене и дает искомую вероятность.

Дата добавления: 2017-02-01