Релятивистское преобразование электромагнитных полей, зарядов и токов

Лекция 8. Принцип относительности в электродинамике

Релятивистское преобразование электромагнитных полей, зарядов и токов. Электрическое поле в различных системах отсчёта. Магнитное поле в различных системах отсчёта. Электромагнитное поле в различных системах отсчёта. Доказательство инвариантности электрического заряда. Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца.

8.1.1. Электрическое поле в различных системах отсчёта

Как известно, механические явления во всех инерциальных системах отсчета (системах отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно) протекают одинаково. При этом невозможно установить, какая из этих систем покоится, а какие – движутся, и поэтому можно лишь говорить об относительном движении этих систем друг по отношению к другу.

С помощью электромагнитных явлений также нельзя получить доказательств существования абсолютного движения, а следовательно, доказательств о существовании абсолютных систем отсчета. Все системы отсчета, движущиеся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, равноправны, и во всех этих системах отсчета законы электромагнитных явлений одинаковы. В этом заключается принцип относительности для электромагнитных явлений: электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому можно сформулировать принцип относительности разделения электромагнитного поля на электрическое поле и магнитное поле: раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.

Ранее рассматривались взаимные превращения электрических и магнитных полей, вызванные изменением полей во времени. Аналогичные явления имеют место и при движении электромагнитного поля относительно наблюдателя.

Предположим, что положительный заряд движется в магнитном поле в вакууме. С точки зрения первого наблюдателя (неподвижного относительно магнитного поля), на заряд действует сила Лоренца:

,

где q – величина заряда;

- индукция магнитного поля;

v – скорость заряда;

α – угол между направлением вектора индукции магнитного поля и вектором скорости частицы.

Направление этой силы перпендикулярно к и , совпадает с направлением векторного произведения .

Относительно второго наблюдателя, движущегося вместе с зарядом, заряд неподвижен, хотя на него действует та же сила F. Но если на неподвижный заряд действует сила, пропорциональная величине заряда, то это означает, что имеется электрическое поле. Напряженность такого поля можно определить по формуле

. (8.1)

Вектор напряженности такого электрического поля по направлению совпадает с направлением силы F, т. е. вектор напряженности электрического поля перпендикулярен векторам и (рис. 8.1).

Таким образом, электромагнитное поле зависит от системы отсчета. Если в какой-либо системе отсчета существует одно магнитное поле, то в других системах отсчета, движущихся относительно первой, существуют и магнитное и электрическое поля.

Рассмотрим поведение электрического поля в различных системах отсчета. Будем считать систему отсчета, в которой электрические заряды или проводники с зарядами покоятся, неподвижной системой отсчета – системой . Систему отсчета, движущуюся с некоторой скоростью v относительно системы отсчета K, подвижной системой отсчета, системой – (рис. 8.2).

Предположим, что в системе отсчета имеются две неподвижные, однородно заряженные параллельные пластины, несущие на себе заряды с плотностью и . Пластины представляют собой квадраты со стороной «в», параллельные плоскости . Расстояние между пластинами l₀ мало по сравнению с размером пластин «в». В связи с этим электрическое поле между пластинами можно считать однородным. Пластины находятся в вакууме, т.е. . Величина электрического поля, измеренная наблюдателем, находящимся в - системе, равна . В данном случае определяется составляющая вектора напряженности электрического поля, параллельная оси . В системе отсчета , движущейся со скоростью в направлении , согласно преобразованиям Лоренца расстояние уменьшается в раз. Так как расстояние между плоскостями не влияет на величину вектора , то что электрическое поле в данном направлении не изменяется. Картина силовых линий электрического поля для данного случая представлена на рис. 8.3.

В другом случае (рис. 8.4), когда пластины параллельны плоскости в системе , сокращается протяженность продольных сторон и квадраты становятся прямоугольниками, сплюснутыми в направлении движения. Так как электрический заряд является инвариантной величиной (не изменяется) по отношению к выбору системы отсчета, т.е. , то при неизменности заряда уменьшается площадь поверхности, следовательно, в раз возрастает поверхностная плотность заряда . Поэтому напряженность электрического поля в данном направлении будет равна

, (8.2)

т.е. поперечная составляющая напряженности электрического поля увеличивается в раз по сравнению с неподвижной системой отсчёта. В результате этого изменится картина силовых линий электрического поля положительного точечного заряда (рис. 8.5). Они сгущаются в направлении, перпендикулярном к направлению движения заряда.

Можно показать, что аналогично будет происходить изменение напряженности электрического поля и в плоскости ZOX.

Полученные результаты можно представить в другом виде. Пусть имеются две системы отсчета и . Система движется отно сительно системы с постоянной скоростью v параллельно оси X (рис. 8.6). В системе существует магнитное поле, которое характеризуется вектором напряженности H. В рассматриваемой точке пространства «А» составляющие вектора напряженности магнитного поля соответственно равны . Тогда в этой же точке, но в системе , вследствие движения появится электрическое поле с напряженность E, составляющие которого соответственно равны . Применяя к отдельным составляющим напряженности электрического поля формулу (8.1), получаем

(8.3)

Если в системе имеется еще и электрическое поле, то результирующее электрическое поле в системе будет характеризоваться результирующим вектором напряженности E, составляющие которого соответственно равны

(8.4)

Подчеркнем, что v – это скорость движения системы относительно системы .

8.1.2. Магнитное поле в различных системах отсчёта

Известно, что при движении электрических зарядов (при движении электрического поля, при наличии тока) в пространстве возникает магнитное поле.

Для определения этого поля рассмотрим заряд +q, движущийся относительно первого наблюдателя со скоростью v. Такой заряд создает магнитное поле с напряженностью

, (8.5)

где r – радиус-вектор, проведенный из заряда в рассматриваемую точку пространства.

Так как в выражении (8.5) - индукция электрического поля, создаваемого зарядом в рассматриваемой точке А, которая связана с напряженность электрического поля соотношением , то с учетом направления вектора D (направление которого совпадает с направлением радиус-вектора r в данной точке) можно записать

. (8.6)

Выражение (8.6) является модулем векторного произведения, т.е.

. (8.7)

Соотношение (8.7) позволяет утверждать, что вектор H перпендикулярен векторам v и D.

Для второго наблюдателя, движущегося вместе с зарядом, существует только электрическое поле, вектор индукции которого равен D. Таким образом, в неподвижной системе отсчета существует только электрическое поле, а в подвижной системе отсчета существуют электрическое и магнитное поля (рис. 8.7).

Установим связь между характеристиками электрического и магнитного полей. Для чего введем две системы отсчета, одна из которых (K) движется относительно другой (K^') в направлении X₁ (рис. 8.8). Будем считать, что заряд покоится в системе отсчета K^'. В этом случае электрическое поле выбранного заряда будет двигаться относительно системы K со скоростью «-v». Воспользовавшись формулой (8.6) для составляющих вектора напряженности магнитного поля (с учетом знака скорости v), будем иметь

(8.8)

Если в системе K^' имеется еще и магнитное поле с составляющими напряженности , то результирующее магнитное поле в рассматриваемой точке пространства будет характеризоваться составляющими вектора напряженности этого магнитного поля:

(8.9)

В соотношениях (8.9) скорость v – скорость движения системы K (в которой имеется магнитное поле с составляющими вектора напряженности ) относительно системы K^'.

Надо отметить, что соотношения (8.9) для преобразования магнитных полей справедливы только в том случае, когда движение происходит со скоростями гораздо меньше, чем скорость распространения света в вакууме.

8.1.3. Электромагнитное поле в различных системах отсчёта

Выражение для силы Лоренца, действующей на точечный заряд в электромагнитном поле, получено с учетом требований инвариантности релятивистского уравнения движения:

.

Следовательно, выражение для силы Лоренца также должно быть релятивистски-инвариантным, т.е. иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, если имеются две системы отсчета K и K^', одна из которых, например K^', движется равномерно и прямолинейно со скоростью v относительно системы K, то выражения для силы Лоренца в этих системах отсчета будут иметь вид

(8.10)

и

. (8.11)

Используя релятивистскую инвариантность выражения для силы Лоренца (8.10) и (8.11) и учитывая формулы преобразования для сил при переходе из одной инерциальной системы в другую, можно получить соотношения между векторами электрического и магнитного полей электромагнитного поля в различных системах отсчета. Частный случай таких преобразований был рассмотрен ранее.

Формулы преобразования сил имеют вид

(8.12)

(8.13)

, (8.14)

где v – относительная скорость движения систем отсчета;

u_x, u_y, u_z – проекции скорости движения заряженной частицы на соответствующие оси координат;

.

Подставим в формулу (8.13) вместо F_y и F_y^' их выражение (8.10), (8.11), будем иметь

. (8.15)

Исключая из формулы (8.15) величины и с помощью формул сложения скоростей в теории относительности и , группируя все члены в левой части соотношения (8.15), находим

(8.16)

Равенство (8.16) справедливо при произвольных значениях и . Следовательно, выражения, стоящие в скобках (8.16), по отдельности равны нулю. Приравнивая их нулю, получаем формулы преобразования для векторов электромагнитного поля:

(8.17)

(8.18)

(8.19)

Аналогично, исходя из соотношения (8.14), можно получить формулы преобразования для других компонент векторов E и B:

(8.20)

(8.21)

(8.22)

Вывод формулы преобразования для проекции вектора напряженности электрического поля (E) E_x можно провести с использованием соотношения

. (8.23)

Поступая так же, как и в предыдущих случаях, приводим соотношение (8.23) к виду

, (8.24)

где .

Воспользовавшись формулами (8.19) и (8.22), находим, что

. (8.25)

Таким образом, формулы преобразования для векторов электромагнитного поля имеют вид

(8.26)

Формулы преобразования векторов электромагнитного поля (8.26) позволяют определить векторы этого поля в любой инерциальной системе отсчета, если они известны в какой-либо одной из них.

8.1.4. Доказательство инвариантности электрического заряда

Пусть положительный электрический заряд движется в -системе, как это показано на рис. 8.9, поперёк электрического поля с напряжённостью . Тогда в системе , движущейся со скоростью , на неподвижный в этой системе заряд действует сила

. (8.27)

Из релятивистской динамики известно, что в системе (на движущуюся материальную частицу при условии ) действует сила

. (8.28)

Поскольку левые части равенств (8.27) и (8.28) равны, то равны и правые части, что возможно когда . Такой вывод согласуется со сделанным выше предположением об инвариантности заряда и может рассматриваться как простое доказательство данного утверждения.

Надо отметить, что объемная плотность заряда r изменяется в соответствии с преобразованиями Лоренца. Это связано с тем, что объемная плотность заряда

.

При равномерном распределении заряда

.

Объем при переходе из одной инерциальной системы в другую изменяется, согласно преобразованиям Лоренца, по закону

.

Следовательно, при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую объемная плотность заряда изменяется согласно закону:

. (8.29)

При переходе из одной инерциальной системы в другую для электрического заряда получим

. (8.30)

Из соотношения (8.30) видно, что действительно при переходе из одной системы отсчета в другую заряд остается величиной постоянной, т.е. электрический заряд инвариантен относительной преобразований Лоренца.

Известно, что закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме в неподвижной системе отсчета отображает зависимость плотности тока от напряженности электрического поля:

.

Можно показать, что плотность тока j в неподвижной среде, в которой заряды движутся со скоростью v в электромагнитном поле с напряженностями E и B, изменяется в соответствии с преобразованиями Лоренца по закону

, (8.31)

где величины векторов E и B (так же, как и векторов E^' и B^') определены так же, как в классической электродинамике, т.е., по существу, равенствами (8.10 и 8.11).

Дата добавления: 2017-02-01