Элементы теории вероятностей

Занятие 8.

Упражнения.

Элементы комбинаторики.

Занятие 7.

Контрольные вопросы.

1. Как найти число элементов в объединении двух конечных множеств, если множества

а) не пересекаются;

б) имеют непустое пересечение?

2. Сформулируйте комбинаторное правило суммы на теоретико-множественном и на комбинаторном языке.

3. Как найти число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств?

4. Сформулируйте комбинаторное правило произведения.

5. Дайте определение размещения с повторениями (без повторений).Приведите примеры размещений.

6. Приведите формулы для вычисления общего числа размещений (с повторениями и без повторений) из m элементов по k элементов.

7. Что такое перестановки из m элементов? Как найти общее число перестановок? Приведите примеры.

8. Дайте определение сочетания из m элементов по k элементов. Приведите примеры сочетаний. По какой формуле можно найти общее число сочетаний без повторений из m элементов по k элементов?

1. На тарелке 8 яблок и 6 груш. Сколькими способами можно выбрать один фрукт? 2 разных фрукта?

2. В классе 40 человек. Из них 26 человек играют в баскетбол, 25 занимаются плаванием, 27-лыжами. При этом одновременно плаванием и лыжами занимаются 18 человек, плаванием и баскетболом -15, баскетболом и лыжами- 16. Один освобожден от физкультурных занятий. Сколько человек занимается только одним видом спорта?

3. Из 50 студентов 20 знают немецкий язык, 15-английский. Каким может быть число студентов, знающих оба языка? Хотя бы один язык?

4. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 человек занимаются в обеих секциях. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?

5. Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треугольников и 3 красных многоугольника. Всего в коробке оказалось 11 фигурок. Сколько среди них красных треугольников?

6. Даны 40 чисел. Из них 10 чисел кратны 3, 15 чисел кратны 2, 20 чисел не кратны ни 2, ни 3. Сколько чисел, кратных 6, среди данных 40 чисел?

7. В классе 30 учащихся. Кружок по математике посещают 12 учащихся, по физике – 11 учащихся, по химии – 13 учащихся, по математике и физике – 4 ученика, по физике и химии – 5 учеников, по химии и математике – 7 учеников. Все три кружка посещают трое учащихся. Сколько учеников не посещают ни одного кружка?

8. Набор состоит из книги и блокнота. Сколько различных наборов можно составить, имея 15 различных книг и 7 различных блокнотов?

9. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5? Сколько среди них таких, которые: а) начинаются с цифры 2, б) содержат одинаковые цифры, в) оканчиваются цифрой 5?

10. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? А чтобы подъем и спуск были по разным дорогам?

11. Сколько шестизначных чисел, не кратных 5, можно составить из чисел 1, 2, 4, 5, 6, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

12. В расписании 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

13. Сколькими способами можно рассадить четырех учащихся на двадцати пяти местах?

14. Почетный караул состоит из военнослужащих пяти родов войск и составляет 12 человек. Сколькими различными способами можно составить команду для почетного караула?

15. Имеется шесть цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Сколько четырехзначных чисел из них можно составить, чтобы:

- число было четным;

- число было нечетным и не делилось на 5;

- в записи числа не было единиц;

- сумма крайних цифр равнялась трем?

16. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, решили провести выборы городского начальства: мэра, вице-мэра, казначея и полицмейстера. Договорились, что каждый коротышка может претендовать на любой пост, но может быть выбран только на один пост. Сколькими способами можно выбрать городское начальство, если в городе 100 коротышек?

17. Сколько различных комбинаций букв можно получить при перестановке букв в слове:

- математика;

- ананас;

- бегемот?

18. Сколькими способами можно рассадить 12 человек за круглым столом?

19. 25 ребят, встретившись перед занятиями, обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

20. Сколько существует различных четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами?

21. В спортшколе 10 сильных лыжников и 8 сильных лыжниц. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 лыжников и 3 лыжниц?

22. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

23. В части служат 20 солдат, 2 лейтенанта, 3 мл. лейтенанта, 1 майор. Сколькими способами можно сформировать караул из 4 солдат и 2 офицеров?

24. Зимой баскетболисты приходили на тренировку неаккуратно. Иногда собирались все 9 членов секции, а порой только трое. Однажды тренер решил посчитать, сколько всего вариантов появления в зале разных составов. Что он получил?

25. В группе 5 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами можно выбрать делегацию из 4 человек, где хотя бы 2 девочки?

26. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

27. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры комбинация?

28. Сколько имеется трехзначных чисел, в запись которых входит ровно одна цифра 5?

29. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра? (посчитать числа, у которых все цифры нечетные).

30. Каких чисел больше среди первого миллиона: в записи которых есть цифра 7 или в записи которых ее нет?

31. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководящую четверку?

32. Вокруг костра сидят 14 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

33. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3,4 и 5, если цифры могут повторяться?

34. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

35. 22. Найти значение: .

36. Вычислите: C ; C .

37. Сколько различных делегаций из четырех коротышек можно составить для поездки в Солнечный город?

38. Сколькими способами можно выбрать три ленты различных цветов из шести лент различных цветов?

Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме ²Элементы комбинаторики.²

II. Попробуйте ответить на контрольные вопросы к занятию № 8. Заполните следующую таблицу:

Виды комбинаций:	Формула
на комбинаторном языке	на теоретико-множественном языке
Размещения с повторениями из m элементов по k элементов	Кортежи длины k с повторяющимися элементами, взятыми из множества, в котором m элементов
Размещения без повторений из m элементов по k элементов
Перестановки без повторений из m элементов
Сочетания без повторений из m элементов по k элементов

III. Решите задачи:

1. Из 100 человек английский язык изучают 28, немецкий - 30, французский - 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучает только один язык? Сколько студентов не изучает ни одного языка?

2. На уроке литературы учитель решил проверить, кто из 40 учеников класса читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В – 22, книгу С – также 22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С – 32, С или В – 31; все три книги прочли 10 учащихся. Сколько учеников прочитали только по одной книге? Сколько учащихся не читали ни одной из этих трех книг?

3. Найти число автомобильных номеров (номер состоит из трех букв и трех цифр).

4. В шахматном турнире участвуют 5 школьников и 15 студентов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьниками, если известно, что никакие два участника не набрали одинакового числа очков?

5. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами он может это сделать?

6. Из цифр 1, 2, 3, 5 составить все возможные четырехзначные числа, чтобы цифры в записи числа не повторялись. Сколько их получилось?

7. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков – русского, английского, немецкого и французского - на любой другой из этих языков.

8. В шахматном турнире принимают участие 12 шахматистов. Сколько будет сыграно партий, если любые два участника встретятся между собой один раз?

9. Из 7 девушек и 8 юношей надо выбрать

· Четыре пары для танца.

· 4 девушек и 4 юношей для общего танца.

10. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно образовать из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы:

· Последней у всех чисел была цифра 4;

· Запись каждого из них начиналась с 23?

11. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются один раз?

12. В помещении 16 ламп. Сколько существует различных вариантов освещения помещения, если одновременно должно гореть 12 ламп?

Контрольные вопросы.

1. Что такое ²испытание², ²событие²? Приведите примеры испытаний и событий.

2. Какие события называются совместимыми и несовместимыми?

3. В каком случае два события называются противоположными? Приведите примеры противоположных событий.

4. Что такое ²достоверное событие², ²невозможное событие², ²случайное событие², ²полная группа событий², ² элементарные события²?

5. Дайте классическое определение вероятности.

6. Что такое абсолютная и относительная частота события А?

7. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Приведите примеры геометрических определений вероятности.

8. Что такое сумма и произведение событий? Приведите примеры.

9. Какие события называются независимыми? Зависимыми? Приведите примеры.

10. Сформулируйте теоремы о вероятности суммы несовместимых событий, произведения независимых событий.

11. Даете определение условной вероятности.

12. Сформулируйте теоремы о вероятности произведения зависимых событий, суммы совместимых событий,.

Дата добавления: 2017-02-01