Марковская модель управления затратами на рекламу

Автор: Вилисов Валерий Яковлевич, профессор кафедры Математики Технологического университета (г. Королев, Моск. обл.)

Обратная задача.

Прямая задача.

Игровая модель управления конкурентоспособностью продукции.

Конкурентная среда представлена двумя сторонами:

· 1-й игрок (И1) - это оперирующая сторона, т.е. предприятие, выбирающее оптимальные решения для обеспечения конкурентоспособности продукции (КСП).

· 2-й игрок (И2) – среда, окружающая 1-го игрока, т.е. другие предприятия - конкуренты.

Схема задачи представлена на рисунке.

Здесь - реакция рынка; - данные учета по продукту; - объем средств, направляемых на управление конкурентоспособностью продукта; - решения, принятые для обеспечения конкурентоспособности.

КСП характеризуется вектором показателей . Его состав достаточно стабилен и может быть определен каким-либо из методов практического маркетинга.

Так для теплообменников в входят технические, экономические и дополнительные показатели (в порядке убывания их значимости):

· цена;

· надежность (время наработки на отказ);

· срок службы;

· срок поставки;

· гарантийный срок;

· затраты на эксплуатацию;

· затраты на ремонт;

· другие.

Пусть И1 выделяет бюджет для управления конкурентоспособностью продукта. Пусть рынок находится в равновесии (в установившемся режиме).

Необходимо на каждом шаге управления так распределить бюджет , чтобы обеспечить стабильный спрос.

Поскольку конкуренты делят общий «пирог» - емкость рынка, то структурно будем рассматривать эту задачу как антагонистическую матричную игру (АМИ) с нулевой суммой. Такая игра однозначно представима своей матрицей платежей , где и количество чистых стратегий соответственно И1 и И2..

Пусть модель рынка – олигополия.

Чистыми стратегиями АМИ игроков И1 и И2 будем считать элементы расширенного вектора , в который кроме значимых параметров включен и нулевой элемент, означающий, что из бюджета ничего не выделяется на цели управления. Другие элементы вектора имеют следующий смысл:

• элемент «срок поставки», означает, что весь бюджет расходуется на снижение срока поставки;
• элемент «надежность» означает, что весь бюджет расходуется на повышение надежности работы продукта

· и т.п.

Смешанная стратегия игрока И1 означает распределение бюджета долями для обеспечения соответствующих показателей.

Примем также следующие допущения:

· Множества чистых стратегий игроков И1 и И2 одинаковы, т.к. наборы показателей идентичны у разных участников рынка данного продукта.

· Стороны не знают стратегии, выбираемые на каждом шаге игры, т.е. действуют независимо.

· Поведение игроков разумно.

Поскольку игроки И1 и И2 действуют в условиях неопределенности и антагонизма, то их оптимальными стратегиями будут соответственно максиминная и минимаксная смешанные стратегии и , где и - вероятности применения игроками своих - й и -й стратегий в составе смешанных. Для вероятностей должно выпол­няться условие нормировки: Кроме того решение АМИ даст и значение цены игры

(1).

Если в такой игровой модели все элементы матрицы известны, то АМИ можно решить одним из методов (например, сведением АМИ к задаче линейного программирования) и распределить бюджет в соответствии со значениями оптимального вектора . Однако обычно матрица априори не известна. Кроме того прибыль не единственная мера выигрыша, а значит выигрыш носит векторный характер (и должен быть описан набором платежных матриц).

Таким образом, при моделировании рыночной ситуации с помощью АМИ существуют:

• априорная неопределенность – элементы матрицы заранее неизвестны;
• текущая неопределенность – в процессе функционирования рынка параметры матрицы могут изменяться.

Для преодоления этих неопределённостей воспользуемся решением обратной задачи – оцениванием элементов матрицы по наблюдениям за решениями, принятыми ЛПР и зарекомендовавшими себя эффективными («хорошими»). Тогда по полученным оценкам матрицы , отражающим обобщенные векторные платежи, можно в новых ситуациях решать и исходную (прямую) АМИ.

Пусть в дискретные моменты измерены смешанные стратегии игроков ,и выигрыш И1 .

Построим алгоритм оценивания элементов матрицы в рекуррентной форме.

Уравнение измерений для произвольного (k -го) наблюдения, с учетом (1), примет вид:

, (2)

откуда невязка

, (3)

где - случайная составляющая (невязка), обусловленная как неточностью измерений, так и степенью соответствия модели игры (матрицы А) реальной ситуации на рынке.

Для оценки элементов матрицы А воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК критерий оптимальности оценок можно представить в следующем виде:

, (4)

где N – число наблюдений в выборке.

Приведем уравнение (2) к матричной форме. Для этого пред­ставим скаляр , или, что то же самое, в несколько ином виде - переформируем матрицу А в вектор , для чего обозначим:

, (5)

где вектор - это -й столбец матрицы , тогда для всех :

. (6)

С учетом этих обозначений выразим 1-е слагаемое в (2):

. (7)

Здесь

, (8)

где - i- й компонент вектора , ,

.

С учетом этих обозначений выигрыш на k -ом шаге (уравнение измерений (2)) примет вид:

. (9)

Для N шагов эти уравнения можно представить в векторной форме следующим образом:

, (10)

или, иначе:

. (11)

Отсюда сумму квадратов отклонений (невязок) можно представить в таком виде:

. (12)

Тогда критерий оптимальности оценок, аналогичный (4), но построенный для новой формы ЦФ (12), можно представить в следующем виде:

, (13)

Далее в соответствии с алгоритмом построения МНК-оценок по совокупности N измерений вектор платежей примет вид:

, (14)

где нижний индекс отражает количество измерений, по которым вы­полняется оценивание, а «крышка» над означает, что вычислена оценка вектора платежей, а не истинные их значения.

Обозначим:

. (15)

Представим алгоритм оценивания (14), (15) в рекуррентной форме:

, (16)

. (17)

Алгоритм (16), (17) позволяет ЛПР накапливать положи­тельный опыт принятия решений путем подстройки (уточнения) элементов платеж­ной матрицы по мере появления новых наблюдений. А полученные на основе этой матрицы решения (стратегия ) путем решения прямой АМИбудут основаны на этом опыте и обеспечат достижения желаемой конкурентоспособности выпускаемой продукции.

Пример. Рассмотрим случай, когда АМИ размерности m x n = 2х2:

Для нахождения решения прямой АМИ, т.е. , и цены игры можно свести АМИ к паре задач линейного программирования (ЗЛП) – прямой и двойственной. Тогда прямая задача примет вид:

Решив эту задачу, получим и решение для И1:

Двойственная задача примет вид:

Решив эту задачу, получим и решение для И2:

Для упрощения расчетов при решении обратной задачи элементы формул (16) и (17) для АМИ 2х2 (индексы номера шага опустим):

Введем обозначения:

;

С учетом этого после преобразований формулы (16) по компонентам векторов можно представить в таком виде:

где номер итерации показан в скобках, i - номер компонента вектора;

, где

Формулу (17) можно представить в таком виде:

где компоненты вектора можно представить в таком виде:

.

Приведенные соотношения позволяют вычислить все компоненты векторов и матриц для обратной задачи по текущим измерениям и затем прямой задачи по полученным оценкам матрицы АМИ не только 2х2, но и произвольной размерности.

Дата добавления: 2014-01-04