Екатеринбург 2012

Дисциплинарная ответственность за земельные правонарушения.

В основе лежит дисциплинарный проступок. Дисциплинарный проступок – это неисполнение или ненадлежащее исполнение работником по его вине возложенных на него трудовых обязанностей.

Субъект – специальный, это лицо, которое состоит с работодателем в трудовых, служебных отношениях, т.е. является работник, в обязанности которого входит соблюдение или исполнение норм земельного законодательства (землеустроители, агрономы, механизаторы и иные лица).

Объектом являются трудовые и земельные отношения (в сфере использования, управления, охраны земель).

Меры дисциплинарной ответственности установлены в ТК (общие: замечание, выговор, увольнение). Порядок применения предусмотрен в ТК РФ, законодательством о государственной и муниципальной службе, законодательством о дисциплинарной ответственности глав администраций, федеральными законами и иными нормативно-правовыми актами РФ и субъектов РФ. ФЗ, уставами, положениями о дисциплине могут предусматриваться дополнительные меры ответственности.

В течение месяца с момента обнаружения должны быть применены соответствующие санкции.

Приказ о наложении взыскания объявляется под расписку. Он может быть обжалован в КТС и в суд.

Конспект лекций по дисциплине «Теория функций комплексного переменного»

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Екатеринбург, 2012. – с.

Конспект лекций соответствуют рабочей учебной программе дисциплины «Теория функций комплексного переменного» и предназначен для использования студентами очного и заочного отделений математического факультета УрГПУ, учебные планы обучения которых включают изучение указанной дисциплины.

Составитель:

Бодряков В.Ю., д.ф.-м.н., профессор кафедры высшей математики, математический факультет

Конспект лекций обсужден на заседании кафедры высшей математики МФ УрГПУ

Протокол от «__» ____________ 2012 №__.

Зав. кафедрой высшей математики В.П. Толстопятов

Декан математического факультета В.П. Толстопятов

Оглавление

ЛЕКЦИЯ 1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функций комплексного переменного …………………….. 5

§1.1. Комплексные числа и действия над ними …………………………… 5

1.1.1. Комплексные числа ……………………………………………………. 5

1.1.2. Действия над комплексными числами ………………………………. 9

§1.2. Функции комплексного аргумента. Предел последовательности.

Предел функции. Непрерывность …………………………………………… 16

1.2.1. Функции комплексного аргумента ………………………………….. 16

1.2.2. Предел последовательности ………………………………………….. 20

1.2.3. Предел и непрерывность функции …………………………………... 23

§1.3. Ряды с комплексными числами ………………………………………. 25

§1.4. Показательная, тригонометрические и гиперболические

функции ………………………………………………………………………. 26

§1.5. Логарифмическая и степенно – показательные функции.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции …………… 31

1.5.1. Логарифмическая и степенно – показательные функции …………. 31

1.5.2. Обратные тригонометрические функции …………………………… 35

1.5.3. Обратные гиперболические функции ……………………………….. 38

ЛЕКЦИЯ 2. Дифференцирование функций комплексного

переменного. Понятие аналитической функции …………………………… 40

§2.1. Производная и дифференцируемость функции комплексного

переменного. Условия Коши – Римана – Эйлера – Даламбера …………… 40

§2.2. Аналитические функции. Связь аналитических функций с

гармоническими ……………………………………………………………… 46

§2.3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ………… 49

§2.4. Понятие о конформном отображении ……………………………….. 52

ЛЕКЦИЯ 3. Интегрирование функции комплексного

переменного ………………………………………………………………….. 55

§3.1. Интеграл от функции комплексного аргумента и его свойства.…… 55

§3.2. Вычисление интеграла комплексной функции ……………………… 58

ЛЕКЦИЯ 4. Теорема Коши. Формула Коши ………………………… 63

§4.1. Теорема Коши и ее следствия …………………………………………. 63

4.1.1. Теорема Коши (односвязная и многосвязная области) ……………. 63

4.1.2. Свойства интеграла аналитической функции ……………………… 67

4.1.3. Интегралы вида ……………………………………………… 72

§4.2. Интегральная формула Коши …………………………………………. 71

§4.3. Производные высших порядков от аналитической функции........... 75

ЛЕКЦИЯ 5. Ряды Тейлора и Лорана …………………………………. 76

§5.1. Числовые ряды. Степенные ряды …………………………………….. 75

§5.2. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора или Лорана … 75

ЛЕКЦИЯ 6. Вычеты и их приложения ……………………………….. 76

§6.1. Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты,

методы их нахождения ………………………………………………………. 75

§6.2. Основная теорема о вычетах ………………………………………….. 75

§6.3. Приложения теории вычетов …………………………………………. 75

Рекомендуемая литература …………………………………………………… 77

Лекция 1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функций комплексного переменного

§1.1. Комплексные числа и действия над ними

1.1.1. Комплексные числа

Число вида z = x + iy, где x, y Î R – действительные числа, а i – мнимая единица (i ² = –1), называется комплексным числом. Действительное число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается: x = Re z. Действительное число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается: y = Im z.

Два комплексных числа z ₁ = x ₁ + iy ₁ и z ₂ = x ₂ + iy ₂ называются равными, если одновременно равны их действительные и мнимые части: z ₁ = z ₂ Û x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂.

Так как комплексное число представляет собой упорядоченную пару действительных чисел: z = (x; y), то его можно изобразить комплексной точкой С (x; y) на комплексной плоскости C с координатами x = Re z и y = Im z (рис. 1). Комплексное число z = (x; y) можно также интерпретировать и как вектор на плоскости C, соединяющий начало координат O(0; 0) и точку с координатами x = Re z и y = Im z.

Комплексное число вида z = x + i 0 с нулевой мнимой частью равно действительной части комплексного числа: z = x = Re z и называется (чисто) действительным числом. Такое комплексное число изображается точкой x на действительной числовой оси Ox.

Комплексное число вида z = 0 + iy с нулевой действительной частью равно произведению мнимой единицы и мнимой части комплексного числа: z = iy = i ×Im z и называется чисто мнимым (комплексным) числом. Такое комплексное число изображается точкой y на мнимой числовой оси Oy.

Положение точки на координатной плоскости Oxy, изображающей комплексное число z = x + iy, можно указать также с помощью полярных координат (r; j).

Полярные координаты r и j, определяющие положение точки С (x; y) на комплексной плоскости, называются, соответственно, модулем r и аргументом j комплексного числа z: r = | z |, j = Arg(z) = Arg z.

Рис. 1

Очевидно, для чисто действительного числа r = | z | = | x |; для чисто мнимого числа r = | z | = | iy | = | y |. В частности, для самой мнимой единицы z = i, имеем r = | z | = | i 1| = |1| = 1.

Между декартовыми (x; y) и полярными (r; j) координатами существует геометрически очевидное (см. рис. 1) соответствие:

x = r ×cosj = | z |×cos(Arg(z));

y = r ×sinj = | z |×sin(Arg(z)). (1)

Наоборот,

r = | z | =;

tgj = tg(Arg(z)) =. (2)

З а м е ч а н и е. В силу периодичности тригонометрических функций, величина j = Arg(z) неоднозначна (многозначна) и определена лишь с точностью до слагаемого вида 2p k, где число k Î Z – целое. В этой связи выделяют главное значение аргумента комплексного числа.

По определению, главным значением аргумента комплексного числа называется число arg z (или arg(z)), определяемое двойным неравенством:

–p £ arg z £ p.

В частности, если z – действительное положительное число, то arg z = 0; если z – действительное отрицательное число, то arg z = p. Если z – чисто мнимое число с положительной мнимой частью (Imz > 0), то arg z = ½p; z – чисто мнимое число с отрицательной мнимой частью (Imz > 0), то arg z = –½p. В частности, для самой мнимой единицы z = i, имеем arg i = ½p. При z = 0 º (0; 0) величина Arg z неоднозначна (не определена).

Тригонометрической формой комплексного числа z = x + iy называется его представление в виде:

z = x + iy = r ×cosj + i × r ×sinj = r ×(cosj + i sinj) º

º | z |×(cos(Arg z) + i sin(Arg z)). (3)

П р и м е р 1. а) Для комплексного числа z = 1 + i имеем: x = Re z = Re(1+ i) = 1; y = Im z = Im(1 + i) = 1; | z | = =; tgj = tg(Arg(z)) = = 1, откуда arg z = ¼p. Т.о., комплексное число z = 1 + i может быть представлено в тригонометрической форме как z = ×(cos(¼p) + i sin(¼p)).

б) Для комплексного числа z = i (мнимая единица) имеем: x = Re z = Re(i) = 0; y = Im z = Im (i) = 1; | z | = 1; tgj = tg(Arg(z)) = = ¥, откуда arg z = ½p. Т.о., мнимая единица z = i в тригонометрической форме имеет вид: z = cos(½p) + i sin(½p) = i sin(½p).

в) Для комплексного числа z = -2 + 0 i = –2 (действительное отрицательное число) имеем: x = Re z = – 2; y = Im z = 0; | z | = 2; tgj = tg(Arg(z)) = = 0, откуда arg z = p. Т.о., комплексное число z = –2 + 0 i может быть представлено в тригонометрической форме как z = 2×cos(p).

С помощью формулы Эйлера, которая будет доказана далее, всякое комплексное число может быть представлено в показательной форме.

Показательной формой комплексного числа называется его представление в виде:

z = r × e^{i j}.

З а м е ч а н и е: Показательное представление комплексного числа основано на формуле Эйлера: e^{i j} = cosj + i sinj.

П р и м е р 2. а) Для комплексного числа z = 1 + i показательной формой будет представление: z = × e^{i p/4}.

б) Для мнимой единицы имеем z = i = 1× e^{i p/2} = e^{i p/2}.

в) Для отрицательного действительного числа: z = -2 + 0 i = –2 = 2× e^{i p}.

(Взаимно) комплексно сопряженными называются два комплексных числа, действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку. А именно, если комплексное число форме есть z = x + iy, то комплексно сопряженным к нему будет число = x – iy. Комплексно сопряженные числа также часто обозначают как z и z *.

На комплексной плоскости числа z и (или z *) представляются точками, симметричными относительно оси Ox (рис. 2).

Рис. 2

Свойства комплексно сопряженных чисел:

1) Двойное комплексное сопряжение числа z дает его самое: = z;

2) Модули комплексно сопряженных чисел одинаковы, а аргументы противоположны по знаку: || = | z |; Arg() = –Arg(z);

3) Если z Î R, то = z;

4) На комплексной плоскости числа z и (или z *) представляются точками, симметричными относительно оси Ox.

1.1.2. Действия над комплексными числами

Определим математические действия с комплексными числами (сформулируем правила основных алгебраических операций с ними).

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом того обстоятельства, что i ² = –1; i ³ = – i; i ⁴ = 1.

А именно,

z = z ₁ + z ₂ = (x ₁ + iy ₁) + (x ₂ + iy ₂) = (x ₁ + x ₂) + i (y ₁ + y ₂);

z = z ₁× z ₂ = (x ₁ + iy ₁)×(x ₂ + iy ₂) = x ₁× x ₂ + ix ₁ y ₂ + ix ₂ y ₁ – y ₁× y ₂ =

= (x ₁× x ₂ – y ₁× y ₂) + i (x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁).

У т в е р ж д е н и е. Сумма и произведение комплексно сопряженных чисел есть действительное число.

Доказательство: Действительно,

z = z + = (x + iy) + (x – iy) = 2 x = 2Re z;

z = z ×= (x + iy)×(x – iy) = x ² + y ² = r ² = | z |², ч.т.д.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению:

z = z ₁ – z ₂ = (x ₁ + iy ₁) – (x ₂ + iy ₂) = (x ₁ – x ₂) + i (y ₁ – y ₂).

Итак, при сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части.

Рис. 3

Графически сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению (рис. 3а) и вычитанию (рис.3б) соответствующих им векторов.

Модуль комплексного числа равен длине соответствующего вектора, поэтому справедливо модульное неравенство (неравенство треугольника):

| z ₁ + z ₂| £ | z ₁| + | z ₂|.

Обобщая на n слагаемых, имеем:

| z ₁ + z ₂ + … + z_n | £ | z ₁| + | z ₂| + … + | z_n |.

При этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы, изображающие числа z ₁, z ₂, …, z_n, лежат на одной прямой и сонаправлены, т.е. когда arg z ₁ = arg z ₂ = … = arg z_n.

Для теории и приложений ТФКП важную роль играет следующее утверждение.

У т в е р ж д е н и е: Пусть z ₁ – произвольное комплексное число (произвольная точка на комплексной плоскости) и r > 0 – положительное действительное число. Тогда совокупность точек, удовлетворяющих неравенству

| z – z ₁| = r,

образует окружность C: | z – z ₁| = r с центром в точке z ₁ радиуса r.

Доказательство: В качестве доказательства достаточно привести следующее соображение: модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа (рис. 3б). Как известно, множество точек, равноудаленных от данной, образует окружность, ч.т.д.

З а м е ч а н и е 1: Неравенство | z – z ₁| < r определяет множество точек, лежащих внутри окружности C: | z – z ₁| = r, т.е. внутренность круга. Неравенство | z – z ₁| > r определяет множество точек, лежащих вне окружности C, т.е. внешность круга.

З а м е ч а н и е 2: Неравенство | z – z ₁| £ r определяет множество точек, лежащих внутри окружности C: | z – z ₁| = r в объединении с множеством точек самой окружности, т.е. замкнутый круг (вместе с границей). Неравенство | z – z ₁| ³ r определяет множество точек, лежащих вне окружности C в объединении с множеством точек самой окружности C, т.е. внешность круга вместе с границей.

З а м е ч а н и е 3. При r ® 0 окружность C: | z – z ₁| = r вырождается в точку z = z ₁.

П р и м е р 3. Множество точек на комплексной плоскости C: | z – (3 + 3 i)| = 2 представляет собой окружность С (рис. 4) радиуса r = 2 с центром в точке C ₀(3; 3).

Рис. 4

Перед тем, как определить операцию деления комплексных чисел, удобно определить операцию обращения комплексного числа.

Комплексное число z ₂ называется обратным к комплексному числу z ₁ (z ₁ ¹ 0), т.е. z ₂ = z ₁^–1 = 1/ z ₁, если выполняется равенство z ₁× z ₂ = 1.

У т в е р ж д е н и е: Если комплексное число имеет вид: z ₁ = x ₁ + iy ₁, где x ₁ и y ₁ не обращаются в нуль одновременно, то обратное к нему комплексное число z ₂ равно:

z ₂ = z ₁^–1 = = – = =.

Доказательство: Пусть z ₂ = x ₂ + iy ₂. Тогда, по определению, выполняется равенство:

1 = 1 + 0 i = z ₁× z ₂ = (x ₁ + iy ₁)×(x ₂ + iy ₂) = x ₁× x ₂ – y ₁× y ₂ + i (x ₁× y ₂ + x ₂× y ₁).

Как известно, два комплексных числа равны, если равны независимо их действительные и мнимые части. Для неизвестных x ₂ и y ₂ это дает систему линейных уравнений:

решая которую (СРС), получим требуемый результат, ч.т.д.

Отношением (частным) комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z = z ₁/ z ₂ =, которое определим как произведение комплексного числа z ₁ (числителя) и числа z ₂^–1, обратного к числу z ₂ (знаменателю): z = = z ₁× z ₂^–1.

У т в е р ж д е н и е: Отношение комплексных чисел z ₁ = x ₁ + iy ₁ и z ₂ = x ₂ + iy ₂ равно:

z = = = + i =.

Доказательство: Доказательство проведем последовательно, умножив число z ₁ (числитель) на число z ₂^–1, обратное к числу z ₂:

z = = z ₁× z ₂^–1 = (x ₁ + iy ₁) × = =, ч.т.д.

С точки зрения операций умножения и деления комплексных чисел гораздо удобнее оказывается тригонометрическая или показательная форма их представления.

У т в е р ж д е н и е: При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются:

| z ₁× z ₂| = | z ₁|×| z ₂|;

Arg(z ₁× z ₂) = Arg z ₁ + Arg z ₂.

Доказательство: Воспользуемся тригонометрической формой записи комплексных чисел:

z ₁ = r ₁×(cosj₁ + i sinj₁); z ₂ = r ₂×(cosj₂ + i sinj₂).

Произведение этих чисел есть:

z ₁× z ₂ = r ₁×(cosj₁ + i sinj₁)´ r ₂×(cosj₂ + i sinj₂) =

= r ₁× r ₂×[(cosj₁×cosj₂ – sinj₁×sinj₂) + i (sinj₁×cosj₂ + cosj₁×sinj₂)] =

= r ₁× r ₂×[(cos(j₁ + j₂) + i sin(j₁ + j₂)].

Но это и означает доказываемое:

| z ₁× z ₂| = r ₁× r ₂ = | z ₁|×| z ₂|;

Arg(z ₁× z ₂) = j₁ + j₂ = Arg z ₁ + Arg z ₂, ч.т.д.

З а м е ч а н и е: В показательной форме это утверждение еще более очевидно: z ₁× z ₂ = r ₁× e^{i j1} ´ r ₂× e^{i j2} = r ₁× r ₂× e^{i (j1 + j2)}.

У т в е р ж д е н и е: При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

| z ₁/ z ₂| = | z ₁|/| z ₂|;

Arg(z ₁/ z ₂) = Arg z ₁ – Arg z ₂.

Доказательство: Для доказательства удобно воспользоваться показательной формой записи комплексных чисел:

z ₁ = r ₁× e^{i j1}; z ₂ = r ₂× e^{i j2};

Частное этих чисел есть:

= = × e^{i (j1 – j2)} = ×[(cos(j₁ – j₂) + i sin(j₁ – j₂)].

Но это и означает доказываемое, ч.т.д.

У т в е р ж д е н и е: При возведении комплексного числа в натуральную n -ю степень модуль числа возводится в эту n -ю степень, а аргумент увеличивается в n раз. Точнее, если z = r × e^{i j}, то

zⁿ = rⁿ × e^{in j} = rⁿ ×(cos n j + i sin n j).

Доказательство: СРС.

З а м е ч а н и е: Пользуясь правилом деления комплексных чисел, нетрудно установить, что аналогичные формулы могут быть получены и при всяком целом отрицательном n Î Z.

Сказанное позволяет определить операцию взятия корня n -ой степени (n Î N) из комплексного числа z.

Корнем натуральной n-ой степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w = =, n -ая степень которого равна z:

wⁿ = z.

У т в е р ж д е н и е: При извлечении корня n -ой степени (n Î N) из комплексного числа z из его модуля необходимо извлечь корень этой n -ой степени, а аргумент, взятый с точностью до 2p k (k Î Z), необходимо разделить на n, взяв k = 0, 1, 2, …, n – 1:

| w | =;

Arg(w) = ×Arg z = ×(arg z + 2p k), k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Доказательство: Воспользуемся показательной формой комплексного числа. Пусть

z = | z |× e^{i (j + 2p m )}; w = | w |× e^{i (q + 2p l )}, m, l Î N.

По определению, wⁿ = z, так что

wⁿ = | w | ⁿ × e^{i ( n q + 2p nl )} = | z |× e^{i (j + 2p m )} = z.

Отсюда заключаем, что:

| w | =

и

n q + 2p nl = j + 2p m.

Последнее дает:

q = + 2p×= +,

где k = m – nl, k Î Z. При этом различными (с точностью до слагаемого вида 2p m, т Î Z) будут аргументы q для которых k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Формулу корня n- ой степени из комплексного числа z можно переписать в виде:

w = = = (cos+ i sin),

где k = 0, 1, 2, …, n – 1, ч.т.д.

З а м е ч а н и е: Комплексные числа, составляющие корень n -ой степени из числа z, лежат в вершинах правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса r =.

П р и м е р 4. Вычислить: а); б).

Решение: а) Представим подкоренное комплексное число в показательной форме: –1 = 1× e^{i p + i 2p k}. Согласно доказанному утверждению о корне натуральной n -ой степени из комплексного числа, имеем:

z _0,1,2 = = (cos+ i sin),

где k = 0, 1, 2. А именно,

z ₀ = cos+ i sin= + i = (1 + i);

z ₁ = cos+ i sin= cosp + i sinp = –1;

z ₂ = cos+ i sin= cos(–⅓p) + i sin(–⅓p) = – i = (1 – i).

Корни z ₀, z ₁, z ₂ в графическом виде представлены на рис. 5 а).

Рис. 5

б) Представим подкоренное комплексное число в показательной форме: – i = 1× e^{–i p/2 + i 2p k}. Тогда:

z _0,1,2 = = (cos+ i sin),

где k = 0, 1, 2. А именно,

z ₀ = cos– i sin= – i = (– i);

z ₁ = cos+ i sin= cos(½p) + i sin(½p) = i;

z ₂ = cos+ i sin= cos+ i sin= – – i = – (+ i).

Корни z ₀, z ₁, z ₂ в графическом виде представлены на рис. 5 б).

Ответ: а) z ₀ = (1 + i); z ₁ = –1; z ₂ = (1 – i);

б) z ₀ = (– i); z ₁ = i; z ₂ = – (+ i).

Если так же, как это принято для действительных чисел, обозначить w = =, то действие возведения комплексного числа в рациональную степень Î Q окажется определенным для любого комплексного z. Далее можно обобщить операцию возведения в степень при любом действительном показателе степени r Î R.

§1.2. Функции комплексного аргумента. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность

1.2.1. Функции комплексного аргумента

Говорят, что на некотором множестве D Ì C точек комплексной плоскости задана комплексная функция w = f (z), если каждой точке z Î D из этого множества поставлено в соответствие одно (в случае однозначной функции) или большее число (в случае многозначной функции) значений функции w.

Так, например, функция w = z ² однозначна и определена на всей комплексной плоскости C. Функция w = Arg z многозначна и определена на всей плоскости, за исключением точки z = 0.

З а м е ч а н и е: Т.к. задание комплексного числа z = x + iy эквивалентно указанию пары действительных чисел x = Re z и y = Im z, также и комплексному числу w = u + iv однозначно соответствует пара действительных чисел u = Re w и v = Im w – действительная и комплексная часть функции w = f (z), соответственно. В общем случае u = u (x; y), v = v (x; y).

Г е о м е т р и ч е с к а я и н т е р п р е т а ц и я. Как и в случае функции действительного аргумента, для функции комплексного аргумента можно также построить своеобразную геометрическую интерпретацию.

Пусть значения аргумента функции z = x + iy пробегают точки некоторой области D_z Ì C точек комплексной плоскости z, а значения функции w (x; y) = u (x; y) + iv (x; y) пробегают точки некоторой области D_w Ì C точек комплексной плоскости w (функциональной комплексной плоскости). В этом случае говорят, что функция w = f (z) устанавливает соответствие между областью значений аргумента D_z и областью значений функции D_w.

П р и м е р 5. Для функции w = z ² справедливо представление: w = z ² = (x + iy)² = x ² – y ² + i 2 xy. Следовательно, u = Re w = x ² – y ² и v = Im w = 2 xy.

Пусть область определения D_z функции w = f (z) представляет собой декартов прямоугольник на плоскости Oxy прямоугольник D_z: [0; 2]´[0; 1]. Установим область значений функции D_w. Нетрудно убедиться (СРС), что в результате действия функции w = z ² прямоугольная область D_z (рис. 6, а)) преобразуется в криволинейную область D_w (рис. 6, б)). Таким образом, функции комплексного аргумента могут с успехом использоваться в качестве инструмента преобразования различных областей.

Рис. 6

Если функция w = f (z) однозначна, то каждой точке области D_z значений аргумента z соответствует единственная точка D_w значений функции w. Если верно и обратное, т.е. каждой точке области D_w значений аргумента w соответствует единственная точка D_z значений функции z = j(w), то функция z = j(w), определенная на множестве D_w, называется обратной к функции w = f (z).

Если в плоскости (z) кривая l задана уравнением

l: F (x; y) = 0,

то для того, чтобы найти уравнение кривой L в плоскости (w), на которую отображается кривая l, с помощью функции w = f (z), достаточно исключить x и y из уравнений:

Если кривая l задана параметрическими уравнениями:

то, подставляя x (t), y (t) вместо x и y в уравнения u = u (x; y), v = v (x; y), получим уравнение кривой L также в параметрической форме:

П р и м е р 6. Найти уравнение линий на плоскости (w) на которые с помощью функции w = z ² отображаются: а) прямые, параллельные оси Ox; б) прямые, параллельные оси Oy.

Решение: Как было показано выше, равенство w = z ² равносильно равенствам:

где z = x + iy = x ² и w = u + iv.

В случае а), образ прямых l: y = C, параллельных действительной оси Ox плоскости (z) получим, исключая x и y = С из уравнений для u = u (x; y), v = v (x; y):

откуда уравнение линии L на плоскости (w) есть: u = – C ². Иными словами, семейство линий l: y = C плоскости (z) отобразится в семейство парабол на плоскости (w) L: u = – C ² (рис. 7). На рис. 7, а) показаны линии семейства y = C для C = –3,2; –2,4; –1,6; –0,8; 0; 0,8; 1,6; 2,4; 3,2. Их образы представлены на рис. 7, б). Заметим, что: 1) в случае C = 0 координата v º 0 и координата u = x ², так что u ³ 0, и кривая L представляет собой положительную полуось оси абсцисс на плоскости (w); 2) линии L (u; v; C) совпадают с линиями L (u; v; – C).

Рис. 7

Рис. 8

В случае б), действуя подобно случаю а), образ прямых l: x = C, параллельных мнимой оси Oy плоскости (z), получим, исключая x = C и y из уравнений для u = u (x; y), v = v (x; y):

откуда уравнение линии L на плоскости (w) есть: u = C ² –. Семейство линий l: x = C плоскости (z) отобразится в семейство парабол на плоскости (w) L: u = C ² – (рис. 8). На рис. 8, а) показаны линии семейства x = C для C = –3,2; –2,4; –1,6; –0,8; 0; 0,8; 1,6; 2,4; 3,2. Их образы представлены на рис. 8, б). Заметим, что: 1) в случае C = 0 координата v º 0 и координата u = – y ², так что u £ 0, и кривая L представляет собой отрицательную полуось оси абсцисс на плоскости (w); 2) линии L (u; v; C) совпадают с линиями L (u; v; – C).

1.2.2. Предел последовательности

Окрестностью точки, изображающей комплексное число z ₀, называется всякая открытая область D _r, содержащая точку z ₀.

В дальнейшем под окрестностью точки будем понимать только круговые окрестности, т.е. под окрестностью точки z ₀ будем понимать внутренность круга D _r с центром в этой точке. Более точно, под r-окрестностью точки z ₀ будем понимать внутренность круга радиуса r с центром в точке z ₀, т.е. совокупность точек, удовлетворяющих неравенству:

D _r: | z – z ₀| < r.

Число z ₀ называется пределом последовательности комплексных чисел z_n = { z_n } = { z ₁; z ₂; z ₃; …; z_n; …} (пишут = z ₀), если "e > 0 найдется такое натуральное число N _e = N (e), что при всех n > N _e выполняется неравенство | z – z ₀| < e. В этом случае говорят также, что комплексная последовательность z_n сходится к предельной точке z ₀.

С в о й с т в о: Если существует предел = z ₀, то как бы мала ни была e-окрестность точки z ₀, вне этой окрестности может оказаться лишь конечное число точек последовательности { z_n }.

Доказательство: Действительно, согласно определению предела, начиная с номера N _e + 1 все члены последовательности { z_n } попадут внутрь e-окрестности точки z ₀, т.е. будут лежать внутри круга D _e: | z – z ₀| < e, ч.т.д.

Справедливо следующее утверждение, позволяющее на практике вычислять пределы комплексных последовательностей.

У т в е р ж д е н и е: Существование предела = z ₀ эквивалентно существованию одновременно и независимо двух пределов:

= x ₀

и

= y ₀.

Доказательство: Для комплексных чисел z_n и z ₀ имеем представления z_n = x_n + iy_n, z ₀ = x ₀ + iy ₀; так что | z_n – z ₀| =. Очевидно, выполнение условия

| z_n – z ₀| 0,

возможно лишь при одновременном выполнении условий

| x_n – x ₀| 0;

| y_n – y ₀| 0.

Но последние и означают, что = x ₀, = y ₀. Другими словами, сходимость комплексной последовательности эквивалентна одновременной сходимости ее действительной и мнимой частей, ч.т.д.

П р и м е р 7. Найти предел последовательности z_n = x_n + iy_n, где x_n = Re z_n =; y_n = Im z_n =.

Решение: Согласно доказанному утверждению, существование предела = z ₀ эквивалентно существованию одновременно двух пределов: x ₀ = = = 1 и y ₀ = = = 1. Поэтому z ₀ = x ₀ + iy ₀ = 1 + i. Последовательность z_n = + i ×представлена в графическом виде на рис. 9.

Рис. 9

Для приложений ТФКП важно определить понятие бесконечного предела комплексной последовательности z_n при n ® ¥.

Окрестностью бесконечно удаленной точки комплексной плоскости (z) называется внешность круга произвольно большого радиуса R. Множество точек, образующих окрестность бесконечно удаленной точки, определяется неравенством: | z | > R. Чем больше радиус круга R, тем меньше окрестность бесконечно удаленной точки, являющейся внешностью этого круга.

Говорят, что последовательность точек z_n = { z_n } = { z ₁; z ₂; z ₃; …; z_n; …} стремится к бесконечно удаленной точке (пишут = ¥), если " R > 0 найдется такое натуральное число N_R = N (R), что при всех n > N_R выполняется неравенство | z_n | > R.

Для комплексной последовательности с бесконечным пределом справедливо следующее утверждение, аналогичное таковому для последовательности с конечным пределом.

С в о й с т в о: Если = ¥, то как бы ни был велик радиус R окрестности бесконечно удаленной точки, вне этой окрестности (т.е. в области | z | < R) может оказаться лишь конечное число точек последовательности { z_n }; все прочие попадут в область | z | > R.

Доказательство: СРС.

1.2.3. Предел и непрерывность функции

Число w ₀ называется пределом (однозначной) функции комплексного переменного w = f (z), при z, стремящемся к z ₀, если "e > 0 найдется такое число d = d(e) > 0, что для всех точек z, попадающих в d-окрестность точки z ₀, т.е. 0 < | z – z ₀| < d, выполняется неравенство | f (z) – w ₀| < e. В этом случае говорят также, что комплексная функция w = f (z) сходится к предельной точке w ₀ и пишут

= w ₀.

Данное определение конечного предела в конечной точке можно обобщить на случай бесконечно удаленных точек z ₀ и (или) w ₀. Например, для случая z ₀ = ¥ и конечного w ₀ можно определение предела функции сформулировать следующим образом.

Конечное число w ₀ называется пределом комплексной функции w = f (z) в бесконечно удаленной точке (при z ® ¥), если "e > 0 найдется такое положительное число R = R (e), что для всех | z | > R выполняется неравенство | f (z) – w ₀| < e. В этом случае пишут

= w ₀.

Формально, данное выше определение предела функции комплексного аргумента ничем не отличается от определения предела функции действительной переменной; поэтому все установленные в курсе математического анализа теоремы о пределах и бесконечно малых остаются в силе для комплексных функций.

Функция f (z) называется непрерывной в точке z ₀, если в этой точке существует ее предел и он равен значению функции в этой точке:

= w ₀ = f (z ₀).

Иными словами, функция f (z) называется непрерывной в точке z ₀, если "e > 0 найдется такое положительное число d = d(e), что для всех точек z, попадающих в d-окрестность точки z ₀, т.е. 0 < | z – z ₀| < d, выполняется неравенство | f (z) – f (z ₀)| < e.

Приращением аргумента функции комплексного переменного называется разность

D z = z – z ₀;

приращением функции называется разность

D w = w – w ₀ = f (z) – f (z ₀) = f (z ₀ + D z) – f (z ₀).

В терминах приращений понятие непрерывности функции комплексного аргумента может быть сформулировано следующим образом.

Функция f (z) называется непрерывной в точке z ₀, если "e > 0 найдется такое положительное число d = d(e), что из выполнения неравенства |D z | < d следует выполнения неравенства |D w | < e.

Т е о р е м а. Функция f (z) = u + iv комплексного аргумента непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывны (независимо друг от друга) ее действительная u и мнимая v части.

Доказательство: Пусть z = x + iy; z ₀ = x ₀ + iy ₀; w = f (z) = u (x; y) + iv (x; y). Тогда

D w = f (z) – f (z ₀) = [ u (x; y) – u (x ₀; y ₀)] + i ×[ v (x; y) – v (x ₀; y ₀)]

и

|D w | =.

Н е о б х о д и м о с т ь. Следует доказать, что если функция f (z) непрерывна, то непрерывны ее действительная и мнимая части. Иными словами, если |D z | = ® 0, то и D w ® 0.

Действительно, последнее возможно лишь при одновременном выполнении условий (при x ® x ₀, y ® y ₀):

[ u (x; y) – u (x ₀; y ₀)] ® 0;

[ v (x; y) – v (x ₀; y ₀)] ® 0,

как раз и означающих непрерывность действительной u (x; y) и мнимой v (x; y) частей функции комплексного аргумента f (z).

Д о с т а т о ч н о с т ь. Здесь, наоборот, следует доказать, что если непрерывны действительная и мнимая части функции комплексного аргумента, то непрерывна и она сама.

В самом деле, непрерывность действительной u (x; y) и мнимой v (x; y) частей функции комплексного аргумента f (z) означает, что "e > 0 найдется такое d = d(e) > 0, что как только 0 < | z – z ₀| < d, выполняются неравенства

| u (x; y) – u (x ₀; y ₀)| < e;

| v (x; y) – v (x ₀; y ₀)| < e.

Тогда, во всяком случае,

|D w | < e,

что и означает непрерывность функции w = f (z), ч.т.д.

Непрерывные функции комплексного переменного обладают следующим характерным свойством.

С в о й с т в о: Непрерывная кривая l на плоскости (z) отображается в непрерывную же кривую L на функциональной плоскости (w) или, если функция f (z) постоянна вдоль кривой – в точку.

§1.3. Ряды с комплексными числами

Ряд с комплексными числами:

z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + z_n + …

также, как и ряд с действительными членами, называется сходящимся, если существует предел при n ® ¥ его частичной суммы

S_n = z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + z_n.

Этот предел

S =.

называется суммой ряда.

У т в е р ж д е н и е: Комплексный ряд z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + z_n + … сходится тогда и только тогда, когда сходятся одновременно его действительная и мнимая части, соответственно,

x ₁ + x ₂ + x ₃ + … + x_n + …

y ₁ + y ₂ + y ₃ + … + y_n + …,

где z_k = x_k + iy_k.

Доказательство: СРС.

У т в е р ж д е н и е: Если сходится ряд

| z ₁| + | z ₂| + | z ₃| + … + | z_n | + …

членами которого являются модули членов данного ряда, то ряд без модулей также сходится. Такой комплексный числовой ряд называют абсолютно сходящимся.

Доказательство: Доказательство вытекает из очевидных неравенств:

| x_n | £ | z_n |;

| y_n | £ | z_n |, ч.т.д.

З а м е ч а н и е: Определение суммы, разности, произведения двух рядов и теоремы о сходимости суммы, разности, произведения рядов не отличаются от соответствующих теорем для рядов с действительными членами.

§1.4. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции

Особенностью функций комплексного переменного является то, что, например, известные из тригонометрии определения тригонометрических функций sin z, cos z, tg z, ctg z теряют смысл при комплексных значениях z. Подобным же образом, определение показательной функции a^z, введенное в алгебре, при комплексных z теряет смысл.

В основе определения названных и других функций как функций комплексного переменного лежит их представление в виде разложений в ряды Тейлора:

e^z = 1 + + + + + + … + + …;

sin z = – + + … + (–1) ⁿ + …;

cos z = 1 – + + … + (–1) ⁿ + ….

У т в е р ж д е н и е: Ряды, стоящие в правых частях разложений для функций e^z, sin z, cos z сходятся, и притом абсолютно, при любых комплексных значениях z.

Доказательство: Убедимся, например, в абсолютной сходимости ряда для e^z. Пусть | z | = r. Тогда

e ^{| z |} = 1 + + + + + + … + + …;

Очевидно, = = 0, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется. Проверим выполнимость достаточного признака сходимости – признака Даламбера:

= = r ×= 0.

Т.о., ряд для e^z сходится абсолютно. Аналогично доказываются абсолютные сходимости разложений для sin z, cos z, ч.т.д.

Доказанное утверждение позволяет говорить о том, что разложения для функций e^z, sin z, cos z определяют во всей плоскости (z) комплексного переменного названные функции, которые при действительных значениях z = x переходят в соответствующие функции действительного аргумента. Свойства последних хорошо изучены в курсе математического анализа.

У т в е р ж д е н и е (формула Эйлера). Функции e^z, sin z, cos z связаны между собой формулой Эйлера:

e^iz = cos z + i ×sin z.

Доказательство: Действительно, подставив в разложение для экспоненциальной функции iz вместо z, получим

e^iz = 1 + – – + + – ….

Разложение для sin z умножим на i:

i ×sinz = – + + …,

и сложим почленно с разложением для cos z:

cos z + i ×sin z = 1 – + + … + – + + … =

= 1 + – – + + + … = e^iz, ч.т.д.

Заменив в формуле Эйлера z на – z, получим

e^–iz = cos(– z) + i ×sin(– z) = cos z – i ×sin z.

Путем сложения и вычитания с обычной формулой Эйлера, получим выражения для тригонометрических функций:

cos z =;

sin z =.

Как уже отмечалось, формула Эйлера позволяет преобразовать тригонометрическую форму комплексного числа в показательную:

z = r ×(cosj + i sinj) = r × e ^ij.

Нетрудно показать, что " z ₁, z ₂ Î C справедливо равенство

e^{z 1 + z 2} = e^{z 1}× e^{z 2}.

С л е д с т в и е: С учетом сказанного, очевидно тождество

e^z = e^{x + iy} = e^x ×(cos y + i sin y).

Это равенство позволяет вычислить значения показательной функции при любых значениях комплексного аргумента.

П р и м е р 7. а) e ^{2–3 i} = e ²×(cos3 – i sin3); б) e ^{p i} = e ⁰×(cosp + i sinp) = –1; в) e ^{½p i} = e ⁰×(cos½p + i sin½p) = i.

Отметим периодический характер показательной функции f (z) = e^z комплексного аргумента в направлении мнимой оси Oy и укажем другие свойства показательной и тригонометрической функции.

С в о й с т в о 1: Функция e^z является периодической с периодом 2p i:

e^{z + 2p i} = e^z.

Доказательство: Действительно,

e^{z + 2p i} = e^{x + (y + 2p) i} = e^x ×[cos(y + 2p) + i sin(y + 2p)] = e^x ×[cos y + i sin y ] = e^z,

ч.т.д.

С в о й с т в о 2: Если m Î Z – целое число, то справедливо равенство:

(e^z) ^m = e^mz.

Доказательство: СРС.

С л е д с т в и е 1: Из правила умножения комплексных чисел вытекает равенство, известное как формула Муавра:

(cosj + i sinj) ⁿ = cos n j + i ×sin n j.

Доказательство: СРС.

С л е д с т в и е 2: Если p = Î Q – рациональное число, то выражение (e^z) ^p многозначно (оно имеет n значений), и только одно из этих значений равно e^pz.

С в о й с т в о 3: Комплексные тригонометрические функции являются 2p-периодическими:

cos z = cos(z + 2p);

sin z = sin(z + 2p).

Доказательство: Действительно, с учетом 2p i – периодичности комплексной функции e^z, имеем:

сos(z + 2p) = = = = cos z.

Аналогично,

sin(z + 2p) = = = = sin z,

ч.т.д.

Можно убедиться, что для функций sin z, cos z комплексного аргумента сохраняется основное тригонометрическое тождество и другие свойства, известные для действительных sin x, cos x.

С в о й с т в о 4: Для комплексных тригонометрических функций sin z и cos z справедливо основное тригонометрическое тождество:

sin² z + cos² z = 1.

Доказательство: Действительно,

sin² z + cos² z = + = + = 1,

ч.т.д.

С в о й с т в о 5: Для комплексных тригонометрических функций sin z и cos z справедливы формулы суммы и разности:

sin(z ₁ + z ₂) = sin z ₁×cos z ₂ + cos z ₁×sin z ₂;

sin(z ₁ – z ₂) = sin z ₁×cos z ₂ – cos z ₁×sin z ₂;

cos(z ₁ + z ₂) = cos z ₁×cos z ₂ – sin z ₁×sin z ₂;

cos(z ₁ – z ₂) = cos z ₁×cos z ₂ + sin z ₁×sin z ₂;

Доказательство: Действительно, докажем, например, первое из выписанных тождеств:

sin z ₁×cos z ₂ + cos z ₁×sin z ₂ = ×+ ×=

= ×[ e^{i (z 1 + z 2)} – e^{i (– z 1 + z 2)} + e^{i (z 1 – z 2)} – e^{i (z 1+ z 2)} + e^{i (z 1 + z 2)} + e^{i (– z 1 + z 2)} – e^{i (z 1 – z 2)} – e^{i (z 1+ z 2)}] =

= ×[2× e^{i (z 1 + z 2)} – 2× e^{i (z 1+ z 2)}] = = sin(z ₁ + z ₂).

Остальные равенства доказываются аналогично, ч.т.д.

Комплексные функции tg z и ctg z определяются, как и в случае действительного аргумента, через отношения синуса и косинуса:

Тангенсом комплексного числа z называется отношение sin z к cos z:

tgz = =.

Котангенсом комплексного числа z называется отношение cos z к sin z:

сtgz = =.

Гиперболические функции sh z (гиперболический синус), сh z (гиперболический косинус), th z (гиперболический тангенс), cth z (гиперболический котангенс) определяются равенствами, соответственно:

sh z =;

ch z =;

th z = =.

сth z = =.

В отличие от случая действительной переменной, комплексные гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические функции и обратно.

С в о й с т в о 6: Имеют место соотношения:

sh z = – i sin(iz);

ch z = cos(iz);

th z = – i tg(iz).

сth z = i ctg(iz).

Доказательство: Доказательство этих тождеств очевидно. Например, для первого из них имеем:

– i sin(iz) = – i× = – = sh z,

и т.д., ч.т.д.

С в о й с т в о 7: Гиперболические функции периодичны: периоды sh z и ch z равны 2p i, периоды th z и cth z равны p i.

Доказательство: СРС.

П р и м е р 8. а) cos i = = = ch1;

б) sin(1 + 2 i) = sin1×cos(2 i) + cos1×sin(2 i) = sin1×ch2 + cos1× i ×sh2.

§1.5. Логарифмическая и степенно-показательная функции. Обратные тригонометрические и гиперболические функции

1.5.1. Логарифмическая и степенно-показательная функции

Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная к показательной.

По определению, если

e^w = z, где z ¹ 0,

то число w называется логарифмом комплексного числа z и обозначается

w = Ln z.

В силу представления w = u + iv из формулы вида e^w = e^u+iv = e^u ×(cos v + i sin v) следует, что

| e^w | = e^u;

Arg e^w = v.

В рассматриваемом случае

e^u = | z |,

или, с учетом того обстоятельства, что u, v Î R, имеем

u = ln| z |,

где ln| z | - уже просто обычный действительный логарифм положительного числа | z |. Кроме того,

v = Arg z.

Итак, по определению

Ln z = ln| z | + i Arg z = ln| z | + i× arg z + i ×2p k,

k Î Z.

З а м е ч а н и е: Ввиду многозначности величины Arg z комплексный логарифм является многозначной функцией. При этом действительная часть логарифма, равная ln| z |, определяется однозначно, а мнимая часть, равная ln| z |, определяется с точностью до слагаемого i ×2p k.

Главным значением логарифма комплексного числа z будем называть то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа z. Иными словами, главное значение логарифма комплексного числа z получается при k = 0.

При действительном z = x Î R имеем | z | = x и arg z = 0, так что в этом случае Ln z совпадает с обычным действительным логарифмом ln x.

Символом ln z будем обозначать главное значение логарифмов любого комплексного числа z. Главное значение логарифма комплексного числа z есть:

ln z = ln| z | + i× arg z.

П р и м е р 9. а) ln(–1) = ln|–1| + i× arg(–1) = 0 + i× p = p i;

б) Ln(–1) = ln|–1| + i× arg(–1) + i ×2p k = 0 + i× p + i ×2p k = (1 + 2 k)×p i.

в) Ln i = ln| i | + i× arg i + i ×2p k = 0 + i× ½p + i ×2p k = (½ + 2 k)×p i.

Ранее было показано:

Arg(z ₁× z ₂) = Arg z ₁ + Arg z ₂;

Arg(z ₁/ z ₂) = Arg z ₁ – Arg z ₂;

Arg zⁿ = n ×Arg z;

Arg z ^{1/ n} = ×Arg z.

Выписанные свойства позволяют указать свойства комплексного логарифма.

С в о й с т в о 8: Логарифмическая функция комплексного переменного обладает следующими свойствами:

Ln(z

Дата добавления: 2014-01-04