Пример 6.1

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором

Х = .

Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле Х = . называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Решить матричным способом систему уравнений

x₁ - x₂ + x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Решение. Введем обозначения

Для заметок

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением

AX=B.

Поскольку

,

то матрица A невырожденная и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить матрицу-столбец B слева на матрицу A: X = A^1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5 (1∙6+3∙3-2∙5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x₂ = 1/5 (-3∙6 +1∙3 - 1∙5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x₃ = 1/5 (1∙6 - 2∙3 + 3∙5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)^T.

Дата добавления: 2014-01-04