Пример 10.2

Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x _{i j} количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000, (10.1)

где x ₁₁, x ₁₂ - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x₂₁ + x₂₂ = 4000. (10.2)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x ₃₁ = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x ₃₂ =3000. (10.3)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x ₁₁ + x ₂₁ = 8000. (10.4)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ + 5,25 x ₂₁ + 6,4x ₂₂ + 3,25x ₃₂ = 58850. (10.5)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (10.1) - (10.5). С учетом (10.3) уравнение (10.5) перепишется в виде:

4,3x ₁₁ + 7,8x ₁₂ +5,25x ₂₁ +6,4x ₂₂ = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x _11, x ₁₂, x ₂₁, x ₂₂, расширенная матрица которой имеет вид:

.

Преобразуем ее к треугольному виду:

.

Наша система равносильна следующей:

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000,

- x ₁₂ + x ₂₁ = 2000,

x ₂₁ + x ₂₂ = 4000,

-2,35 x ₂₂ = - 4700,

откуда x ₂₂ = 2000, x ₂₁ = 2000, x ₁₂ = 0, x ₁₁ = 6000.

Дата добавления: 2014-01-04