Минимизация числа опытов

Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффи­циентов линейной модели. Другими словами, полный фак­торный эксперимент обладает большой избыточностью опы­тов. Было бы заманчивым сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться к тому, чтобы матрица планирования не лишилась своих опти­мальных свойств. Сделать это возможно.

Рассмотрим полный факторный эксперимент 2².

№	х0	х1	х2	х1х2	у
	+	-	-	+	у1
	+	-	+	-	у2
	+	+	-	-	у3
	+	+	+	+	у4

х₁х₂ – взаимодействие факторов 2-го порядка (парное взаимодействие).

Пользуясь таким планированием, можно вычислить че­тыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде неполного квадратного уравнения

Здесь, например, b₁₂=(y₁-y₂-y₃+y₄)/4.

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан ли­нейной моделью, то достаточно определить три коэффи­циента: b₀, b₁, b₂.

Остается одна степень свободы (один столбец с произведением факторов; для линейной модели он оказывается лишним). Воспользуемся этим столбцом для минимизации числа опытов. Представим данный столбец как третий фактор (х₃); тогда коэффициент b₁₂ будет выполнять роль коэффициента b₃. Следует учесть, что в этом случае существенно меняется смысл коэффициентов b1 и b2. Чтобы увидеть это, сравним приведенную матрицу с матрицей полного факторного эксперимента 2³.

№
	-	-	+	+	-	-	+
	-	+	-	-	-	+	+
	+	-	-	-	+	-	+
	+	+	+	+	+	+	+
	-	-	+	+	-	-	+
	-	+	-	-	-	+	+
	+	-	-	-	+	-	+
	+	+	+	+	+	+	+

Отметим, что приведенная матрица строится из предположения, что x₃=x₁x₂, а для факторов х₁ и х₂ должны быть все возможные их комбинации; при этом должно быть 8 опытов. Все парные и тройное взаимодействия – вынужденные значения; они получаются произведением значений соответствующих столбцов!

Как видим, есть совпадения в значениях факторов. Т.е. данный план не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к планам полного факторного эксперимента (не является ортогональным).

Найдем оценки коэффициентов. Здесь уже не будет тех раз­дельных оценок, которые мы имели в полном факторном эксперименте. Оценки смешаются (это связано с тем, что повторяются значения столбцов, например 1 и 23). Таким образом, оценки будут иметь следующий смысл:

- в оценке коэффициента b₁ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₁₂;

- в оценке коэффициента b₂ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₁₃;

- в оценке коэффициента b₃ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₂₃;

- в оценке коэффициента b₀ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₁₂₃;

Этот факт записывается следующим образом:

;

; (1)

;

;

Иначе говоря, каждый из указанных коэффициентов не определяет в чистом виде зависимость параметра оптимизации от соответствующих факторов.

Но это не является важным. Ведь постулируется линейная модель. Поэтому все парные взаимодей­ствия не значимы и ими можно пренебречь, т.е.

b₂₃@0; b₁₂@0; b₁₃@0; b₁₂₃@0.

Главное здесь то, что найдено средство минимизировать число опытов: вместо 8 опытов для оценки влияния трех факторов можно поставить четыре.

При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств (ортогональность, ротатабельность). Здесь отметить, что речь идет о матрице, определяемой первой таблицей.

Полученное правило формулируется следующим образом: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренеб­речь; при этом значение нового фактора в экспериментах определяется знаками этого столбца.

Отметим, что с увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов не решается так просто, как для трех факторов.

Дата добавления: 2014-01-04