Закон всемирного тяготения

Я лекция. Виды взаимодействия

Второй закон Ньютона

Во втором законе Ньютона фигурируют две новые физические величины: сила и масса. Сила дает количественную характеристику и направление воздействия, оказываемого на данное тело со стороны других тел. Масса дает количественную характеристику «отзывчивости» тела на эти воздействия.

Как уже отмечалось, воздействие, оказываемое на некоторое тело, может вызвать явления двоякого рода: изменить скорость тела или вызвать его деформацию (т. е. изменение его размеров и формы). Поскольку оба эти эффекта (и ускорение, и деформация) поддаются измерению, любой из них может быть использован для количественной оценки воздействий, т. е. для сравнения и измерения сил.

Рассмотрим следующий эксперимент. Возьмем пружину, закрепленную неподвижно в верхнем конце. К нижнему концу пружины подвесим какой-либо груз (рис. 39). Под воздействием этого груза (и того тела, к которому прикреплен верхний конец пружины) она получит некоторое удлинение, в результате чего указатель, прикрепленный к пружине, сместится на неподвижной шкале от отметки 0 к отметке 1.

Фундаментальные силы. Закон всемирного тяготения. Закон Кулона. Сила Лоренца. Силы трения. Сухое и жидкое трения. Трение покоя. Сила тяжести и вес. Упругие силы.

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где γ — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис.128).

Формула (46.1) дает численное значение равных по величине сил f ₁₂ и f ₂₁.

Тела, о которых идет речь в соотношении (46.1), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нужно разбить на элементарные массы Δ m, т. е. небольшие объемы, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 129). Согласно (46.1) i -я элементарная масса тела 1 притягивается к k -й элементарной массе тела 2 с силой

где r_{ik ед} — единичный вектор, имеющий направление от Δ m_i, к Δ m_k, a r_ik — расстояние между этими элементарными массами.

Просуммировав (46.2) по всем значениям k, получим результирующую всех сил, действующих со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу Δ m_i

Наконец, просуммировав (46.3) по всем значениям индекса i, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1:

Суммирование производится по всем значениям индексов i и k. Следовательно, если тело 1 разбить на N₁, а тело 2 — на N₂ элементарных масс, то сумма (46.4) будет содержать N₁N₂ слагаемых.

По третьему закону Ньютона тело 1 действует на тело 2 с силой f ₂₁, которая равна — f ₁₂.

Практически суммирование (46.4) сводится к интегрированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары¹), то вычисление согласно (46.4) приводит к следующему результату:

где m ₁ и m ₂ — массы шаров, r — расстояние между их центрами, r_{12 ед} — единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго. Таким образом, шары взаимодействуют, как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах.

Если одно из тел представляет собой шар очень большого радиуса R (например, земной шар), а второе тело, не будучи шаром, имеет размеры, гораздо меньшие R, и находится вблизи поверхности шара, то их взаимодействие описывается формулой (46.5), где вместо r нужно взять радиус шара (расстоянием от второго тела до поверхности шара, а также размерами второго тела можно пренебречь по сравнению с R).

С коэффициентом пропорциональности γ в уравнении (46.1) нецелесообразно поступать так, как мы поступили с коэффициентом пропорциональности в уравнении второго закона Ньютона (т. е. делать его равным единице за счет выбора единицы измерения силы), поскольку в этом случае пришлось бы при рассмотрении различных физических явлений пользоваться разными единицами измерения одной и той же величины — силы. Если же пользоваться для измерения величин, входящих в (46.1), ранее установленными единицами, то гравитационная постоянная γ оказывается размерной величиной, численное значение которой должно быть установлено опытным путем. Размерность γ в соответствии с (46.1) равна

Численное значение γ было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают большие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка 10^-6 н, т. е. порядка 10^-4 Г.

Первой успешной попыткой определения γ были измерения, осуществленные Кавендишем (1798 г.) который применил для измерения сил весьма метод крутильных весов (рис. 130). Два свинцовых шара m (с массой 729 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг).

Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу. Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами m и М. Наиболее точным из определенных разными способами считается значение Если в (46.5) подставить m 1, m 2 и r, равные единице, то сила оказывается численно равной γ. Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых

отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной 6,670 10^-11 н.

Дата добавления: 2014-01-04