Різні форми рівняння прямої на площині

Пряма на площині як алгебраїчна лінія першого порядку.

Найбільш загальним виглядом рівняння алгебраїчної лінії першого порядку є

Ах + Ву + С = 0, (3.30)

де А, В, С – числа, при чому принаймні одне з чисел А і В не дорівнює нулю. Покажемо, що будь-яка пряма є лінією першого порядку, тобто рівняння будь-якої прямої можна записати у вигляді (3.30).

Рис. 3. 11

Нехай (l) – довільна пряма (рис. 3.11). Якщо пряму задано, то можна вказати яку-небудь точку М ₀(х ₀; у ₀) на цій прямій і який-небудь ненульовий вектор = (А; В), перпендикулярний до цієї прямої. Цей вектор називають нормальним вектором прямої (l). Очевидно будь-яка точка М (х; у) належить до прямої (l) тоді і тільки тоді, якщо вектор перпендикулярний до вектора , тобто якщо = 0. Виражаючи цю рівність через координати векторів = (А; В) і = (х – х ₀; у – у ₀), одержуємо рівняння прямої (l):

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) = 0. (3.31)

Рівняння (3.31) називають рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором. Це рівняння можна записати у вигляді

Ах + Ву – (Ах ₀ + Ву ₀) = 0,

тобто у вигляді (3.30), якщо позначити

– (Ах ₀ + Ву ₀) = С.

Пряма (l) узята цілком довільно. Отже, усяка пряма є алгебраїчною лінією першого порядку. В ході наших міркувань з’ясувалося, що в рівнянні (3.30) коефіцієнти А і В є не що інше, як координати нормального вектора прямої. Повторюючи наші міркування в зворотному порядку, читач легко переконається, що в свою чергу будь-яка алгебраїчна лінія першого порядку є пряма. Тому рівняння (3.30) називають загальним рівнянням прямої.

У різних задачах по-різному формулюються умови, які визначають задану або шукану пряму. Отже і форму рівняння цієї прямої доцільно обирати відповідно до умов задачі.

Дата добавления: 2014-01-04