Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Кут між двома прямими




 

1. Задано дві прямі (l1) і (l2). Потрібно обчислити кут між ними. Розглянемо два випадки, які відрізняються способом завдання прямих.

а) Прямі задані загальними рівняннями:

(l1): А1х + В1у + С1 = 0;

(l2): А2х + В2у + С2 = 0.

Рис. 3. 13

З цих рівнянь маємо координати нормальних векторів прямих: = (А1;В1) і = (А2;В2), і кут між прямими можна знайти як кут між площинами у п.3.4 (рис. 3.13):

cos (l1ˆl2) = cos |(ˆ)| = = (3.37)

Умовою паралельності прямихє паралельність їх нормальних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:

((l1)║(l2)) Û () Û . (3.38)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:

((l1)^(l2)) Û (^) Û (×= 0) Û A1A2 + B1B2 = 0. (3.39)

 

б) Прямі задані канонічними рівняннями:

(l1): ;

(l2): .

З цих рівнянь маємо координати напрямних векторів прямих: = ( m1; n1) і = ( m2; n2), і кут між прямими можна знайти як у п.3.6:

cos (l1ˆl2) = cos |(ˆ)| = = (3.40)

Умовою паралельності прямихє паралельність їх напрямних векторів, тобто пропорціональність координат цих векторів:

((l1)║(l2)) Û () Û . (3.41)

Умовою перпендикулярності прямих є умова ортогональності їх нормальних векторів:

((l1)^(l2)) Û (^) Û (×= 0) Û m1m2 + n1n2 = 0. (3.42)

 

в) Прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:

Рис. 3. 14

(3.43)

Тоді k1 = tg α1, k2 = tg α2, де α1 і α2 – відповідно кути нахилу прямих (l1) і (l2) до осі Ох (рис. 3.14). Знайдемо тангенс кута між прямими:

tg (l1ˆl2) = tg (α2α1) =

=.

В загальному випадку

tg (l1ˆl2) = . (3.44)

Умова паралельностіочевидна: α1 = α2, звідки tg α1 = tg α2, отже

k1 = k2 . (3.45)

Умову перпендикулярності одержимо, переписавши рівняння (3.43) як загальні і скориставшись умовою (3.39) (де , , ):

k1k2 + 1 =0, звідки . (3.46)

Приклад 1. Знайти точку перетину двох прямих

(l1): 5х – 2у + 16 = 0;

(l2): 3х + у + 3 = 0.

Розв’язання:

Згідно з формулою (3.3) координати точки перетину, як спільної точки прямих (l1) і (l2) двох прямих, повинні задовольняти рівняння обох прямих, отже вони є розв’язком системи рівнянь:

Розв’язуючи цю систему, одержуємо х = –2; у = 3. Отже прямі (l1) і (l2) перетинаються в точці М(-2;3).

Приклад 2. Написати рівняння прямої (l1), яка проходить через точку М0(х0;у0) паралельно до заданої прямої (l).

Розв’язання:

а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням

(l): 5х – 2у + 16 = 0, М0(2;–3).



З рівняння прямої (l) знаємо її нормальний вектор = (5;–2). Оскільки шукана пряма (l1)║(l) , то її нормальний вектор . Не обмежуючи загальності, можна взяти = = (5;–2). Залишається скористатись рівнянням прямої за точкою і нормальним вектором (3.31):

5(х – 2) – 2(у +3) = 0 або 5х – 2у – 16 = 0.

 

б) Нехай пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:

(l): у = 3х – 2, М0(–2;1).

Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = 3. Оскільки шукана пряма (l1)║(l), то її кутовий коефіцієнт k1 = k = 3. скориставшись рівнянням прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36), маємо відповідь

(l1): у – 1 = 3(х + 2), або у = 3х + 7.

Приклад 3. Написати рівняння прямої (l1), яка проходить через точку М0(х0;у0) перпендикулярно до заданої прямої (l).

Розв’язання:

а) Нехай пряму (l) задано загальним рівнянням

(l): 3х + 4у – 11 = 0, М0(2;6).

Нормальний вектор прямої (l) = (3;4). Оскільки шукана пряма (l1)^(l), то її напрямнийвектор . Можемо взяти == (3;4). Тоді рівняння шуканої прямої (l1) запишеться як рівняння прямої за точкою і напрямним вектором (3.32):

(l1): , або 4х – 3у + 10 = 0.

 

б) Пряму (l) задано рівнянням з кутовим коефіцієнтом:

(l): у = –2х + 5, М0(3;–1).

Задана пряма (l) має кутовий коефіцієнт k = –2. Шукана пряма (l1)^(l), тому її кутовий коефіцієнт згідно з умовою перпендикулярності (3.46) дорівнює . Рівняння шуканої прямої (l1) одержимо тепер як рівняння прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом (3.36):

(l1): у + 1 = (х – 3), або х – 2у – 5 = 0.

Приклад 4. Знайти кут між прямими (l1) і (l2) .

Розв’язання:

а) Прямі задано загальними рівняннями:

(l1): 2ху + 8 = 0;

(l2): 6х + 2у – 7 = 0.

Нормальні вектори прямих відповідно = (2;–1) і = (6;2). Кут між прямими знаходимо як кут між їх нормальними векторами за формулою (3.37):

cos (l1ˆl2) = = = = .

Отже кут

(l1ˆl2) = arccos= = 45°.

 

б) Прямі задано рівняннями з кутовими коефіцієнтами:

(l1): у = 3x + 5;

(l2): у = –x – 2.

Кутові коефіцієнти прямих відповідно k1 = –3, k2 = –1. За формулою (3.44)

tg (l1ˆl2) = = = = .

Отже кут

(l1ˆl2) = arctg» 26°34¢.





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1045; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.166.191.100
Генерация страницы за: 0.086 сек.