КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Властивості визначників
Розглянемо властивості визначників на прикладі визначників третього порядку, хоча всі ці властивості мають місце для визначників будь-якого порядку. 1) Визначник не зміниться, якщо замінити його рядки стовпцями з тим самим номером (таке перетворення називається транспонуванням): =. Доводиться перевіркою за допомогою формули (1.4). Ця властивість встановлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому кожна властивість визначника, яка має місце для його рядків, буде справедливою і для стовпців. 2) Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці) визначника, то його знак зміниться на протилежний. Наприклад, = – . Доведення – перевіркою за допомогою формули (1.4). Властивості 1 і 2 дозволяють обґрунтувати твердження про те, що обчислення визначника можна здійснювати розкладанням його за елементами будь-якого рядка чи стовпця, тобто формулу (1.4) можна узагальнити так: , (1.5) де або – будь-яке з чисел (визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення). 3) Визначник, який має два однакових рядки (стовпці) дорівнює нулю. Справді, якщо у визначника два однакових рядки (стовпці) то помінявши їх місцями, ми змінимо знак визначника на протилежний (властивість 2), водночас сам визначник не зміниться, тобто , звідки і . 4) Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Наприклад, =. Для доведення досить розкласти визначник за елементами другого стовпця і винести спільний множник за дужки. З властивості 4 випливає, що коли всі елементи деякого рядка (стовпця) – нулі, то й визначник дорівнює нулю. 5) Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
Це випливає з властивостей 4 і 3. За властивістю 4 спільний множник елементів цих рядків можна винести за знак визначника, внаслідок чого отри-маємо визначник з двома однаковими рядками, рівний нулю за властивістю 3. 6) Якщо кожний елемент -го рядка (-го стовпця) є сума двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, один з яких у -му рядку (-му стовпці) містить перші із згаданих доданків, а інший – другі; елементи, які стоять на решті місць, у всіх трьох визначників одні й ті ж. Наприклад, =+. Для доведення достатньо розкласти ці визначники за елементами відповідного рядка (стовпця) і переконатися в рівності лівої і правої частин. 7) Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого його рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те ж число. Ця властивість випливає з властивостей 3, 4, 6. Наприклад, нехай і Тоді =+=. 8) Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю. Справді, сума елементів, наприклад, -го рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів -го рядка: є згідно з формулою (1.5) розкладанням визначника, в якому -й та -й рядки однакові і який за властивістю 3 дорівнює нулю. Властивість 8 дозволяє записати формулу (1.5) у вигляді: (1.6) Зауважимо, що використання властивостей визначника, зокрема властивості 7, часто дозволяє спростити його обчислення. Приклад. Обчислити визначник . Цей визначник уже розглядався вище. Користуючись властивістю 7, додамо до елементів другого стовпця елементи першого, помножені на , а до елементів третього стовпця елементи першого, помножені на : == . Як бачимо, обчислення істотно спростилися порівняно з безпосереднім розкладанням визначника.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1145; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |