Ядерна модель атома. Борівський воднеподібний атом. Спектральні серії

Розділ 7. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла

7.1.1. Оскільки світло випромінюється і поглинається атомами речовини, то виникає питання: яка структура атомів забезпечує дискретний (квантовий) характер вказаних процесів? Вперше конструктивну відповідь на це питання дав Резерфорд (1911р), досліджуючи розсіяння -частинок на тонких (товщина» 1 мкм) металічних плівках (фольгах) (рис.7.1).

Центрований діафрагмою 2 пучок a -частинок від джерела 1 розсіювався фольгою 3 під різними кутами J від - p до p. Кількість a -частинок (D n), розсіяних під фіксованими кутами, реєструвалась приймачем 4, який міг переміщуватись по колу навколо центру фольги. Було встановлено (рис.7.2):

а) більшість a -частинок, проходячи через фольгу, практично не розсіюється;

б) дуже добре виконується теоретично передбачуване співвідношення

в) певна, хоч і незначна, кількість a -частинок розсіюється під кутами, близькими до ± p.

Аналіз результатів експерименту дозволив Резерфорду запропонувати ядерну модель атома, згідно з якою в центрі атома розміщене позитивно заряджене ядро , що володіє масою, приблизно рівною масі атома. Навколо ядра рухаються електрони. Якщо в нейтральному атомі Z електронів, де Z – порядковий номер елементу в періодичній таблиці елементів Д.І. Менделєєва, то заряд ядра , де – елементарний заряд. В рамках цієї моделі зрозуміло, що ймовірність лобового зіткнення a -частинки з ядром, яке забезпечує розсіяння на кути ± p, дуже мала. Електрони ж в силу незначної маси розсіювати a -частинки не можуть.

Оскільки, у відповідності з теоремою Ірншоу, неможлива стійка статична конфігурація електричних зарядів, то атом мусить бути динамічною системою, тобто електрони повинні рухатись навколо ядра по замкнених (колових чи еліптичних) орбітах. Такий рух є прискореним, і електрон з точки зору класичної фізики повинен втрачати енергію, випромінюючи електромагнітні хвилі, і тому впасти на ядро. Але, як відомо, атом – стійка конфігурація електричних зарядів. І тому, приймаючи ядерну модель атома, потрібно відмовитись від класичного опису орбітального руху електронів.

7.1.2. Розвиваючи запропоновану модель, у 1913 р. Н. Бор висунув гіпотезу у вигляді наступних постулатів: а) із усіх можливих механічних станів (орбіт) електрона в атомі здійснюються лише такі, для яких момент імпульсу орбітального руху електрона кратний до постійної Планка h, тобто

, (7.1)

де – квантове число стану (номер орбіти), а – постійна Дірака; такі стани називаються стаціонарними;

б) перебуваючи в стаціонарному стані, електрон атома не випромінює і не поглинає енергії;

в) при переході з одного стаціонарного стану на інший електрон випромінює чи поглинає квант світла з енергією, рівною різниці енергій цих станів, тобто

. (7.2)

Отже, основна ідея постулатів Бора полягає в квантуванні (дискретності) механічних характеристик руху електронів: моменту імпульсу, енергії тощо. Рис.7.3 ілюструє наявність стаціонарних квантових станів (енергетичних рівнів) з енергіями та і випромінювальні та поглинальні переходи між ними: зменшення енергії електрона супроводжується випромінюванням кванту світла (фотона) з енергією ; поглинання кванту світла з енергією забезпечує збільшення енергії електрона від до . В цій моделі випромінювання (поглинання) квантів світла з енергіями є неможливим.

7.1.3. Запропонована теорія вперше була застосована до воднеподібних атомів (тощо), в яких навколо ядра, заряд якого , рухається по коловій орбіті радіусом r лише один електрон. При цьому ядро вважається нерухомим. Розглядаючи електрон як класичну матеріальну точку, енергію атома запишемо як суму кінетичної і потенціальної енергій електрона в кулонівському полі ядра

, (7.3)

де m – маса електрона, – електрична стала. Врахуємо, що в ролі доцентрової сили, яка забезпечує коловий рух електрона, виступає кулонівська сила, тобто

. (7.4)

Звідси випливає, що , і (7.3) запишеться у вигляді

. (7.5)

Оскільки орбітальний момент імпульсу електрона

,

то, врахувавши (7.4), отримаємо вираз для радіуса стаціонарної орбіти електрона

, (7.6)

де має зміст радіуса першої (n = 1) орбіти електрона в атомі водню (Z = 1); ця величина називається борівським радіусом. Отже, має місце квантування (n = 1, 2, 3, …) радіусів стаціонарних орбіт електрона.

Підставляючи (7.6) у (7.5), отримаємо вираз для енергії атома

. (7.7)

Введемо позначення: – постійна Рідберга. Тоді (7.7) набуде остаточного вигляду

. (7.8)

Отже, енергія атома приймає дискретні значення, тобто квантується. Стан з найнижчою енергією (n = 1) називається основним, усі інші стани – збудженими. Стан з найвищою енергією (n = ¥) відповідає іонізації атома. Отже, енергія іонізації воднеподібних атомів

, (еВ).

І тому зручно інколи (7.8) записувати у вигляді

. (7.9)

7.1.4. Зобразимо енергетичну діаграму атома водню (Z = 1) (рис.7.4). В основному стані атом може перебувати як завгодно довго. Якщо ж його перевести певним чином (теплом, світлом, бомбардуванням вільними електронами тощо) в довільний збуджений стан, то тривалість перебування в цьому стані складає , і атом самовільно переходить в основний чи нижчі збуджені стани, як показано на рис. 7.4. При цьому, у відповідності з (7.2) та (7.8), випромінюється фотон з енергією

,

а довжина випромінюваної світлової хвилі розраховується за серіальною формулою Бальмера

, (7.10)

де n ₂ – квантове число стану, з якого відбувається перехід, n ₁ – квантове число стану, в який переходить атом.

Якщо забезпечити умови “заселеності” усіх збуджених станів, то в спектрі випромінювання атомарного водню спостерігатиметься значна кількість спектральних ліній, які можна згрупувати в наступні серії:

І–серія Лаймана, для якої а ;

ІІ–серія Бальмера, для якої а ;

ІІІ–серія Пашена, для якої а ;

ІV–серії Брекета, для якої а , тощо.

Лінії серії Лаймана лежать в ультрафіолетовій області, серії Бальмера – у видимій області, серії Пашена, Брекета – в інфрачервоній області. Відмітимо, що довжини хвиль, розраховані за формулою (7.10), дуже добре співпадають з експериментальними значеннями.

На цьому тріумф теорії Бора закінчується, бо вона виявилась нездатною пояснити спектри випромінювання складних (неводнеподібних) атомів, а також інтенсивності спектральних ліній навіть атомарного водню. Слабкість цієї теорії полягає в тому, що, ввівши нехарактерні для класичної фізики поняття про квантування фізичних величин і про квантові переходи (”стрибки”), в усьому іншому вона залишилась класичною. І тому послідовна, квантовомеханічна теорія повинна ґрунтуватись на нових (некласичних) принципах опису стану і руху мікрочастинок.

§7.2. Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії; гіпотеза де Бройля. Співвідношення невизначеностей Гайзенберга

7.2.1. Як показано в розділі 6, світло володіє як хвильовими, так і корпускулярними властивостями. Луї де Бройль (1924 рік) висунув гіпотезу (постулат) про те, що корпускулярно-хвильовий дуалізм притаманний не тільки світлу, але матерії взагалі: усяка частинка, яка має імпульс і енергію Е, володіє хвильовими властивостями, її рух супроводжується хвильовим процесом з довжиною хвилі де Бройля

(7.11)

та частотою

. (7.12)

В залежності від величини швидкості v (кінетичної енергії ) частинок, їх імпульс розраховується або за класичною формулою (при )

, (7.13)

або за релятивістською формулою (при , Е_k співмірна з Е ₀)

, (7.14)

де m – маса частинки (таблична величина), – її енергія спокою.

Зокрема, вільна частинка, що рухається вздовж осі х, описується плоскою хвилею де Бройля

, (7.15)

де – амплітуда хвилі де Бройля, – її циклічна частота, – її хвильове число. Фазова швидкість хвиль де Бройля

, (7.16)

а групова швидкість

(7.17)

Борівське квантування моменту імпульсу орбітального руху електрона набуває нового змісту з врахуванням хвильових властивостей електрона. Зокрема, довжина стаціонарної орбіти

,

тобто в межах орбіти вкладається ціле число хвиль де Бройля.

Оцінимо довжину хвилі де Бройля електрона, який прискорився електричним полем . Саме такі напруги використовуються у вакуумних електронних приладах (радіолампи, рентгенівські трубки тощо). Підставляючи в формулу (7.13) значення кінетичної енергії електронів е В, отримаємо за (7.11) для довжин хвиль де Бройля нм.

Відомо, що найбільш чітко хвильові властивості світла проявляються в явищі дифракції. І тому прояв хвильових властивостей електронних (нейтронних, атомних тощо) пучків слід очікувати в цьому ж явищі. При цьому чітка дифракційна гратка спостерігається тоді, коли довжини хвиль співмірні з розміром дифракційної неоднорідності (отвори, щілини тощо).

Розміри макроприладів значно перевищують довжини хвиль де Бройля електронів, і тому в цьому випадку хвильові властивості електронів явно не відслідковуються. В цей же час розраховані значення l співмірні з розміром ( нм) кристалічної решітки твердих тіл. І тому така решітка повинна бути дифракційним пристроєм для електронних пучків. Дійсно, при проходженні електронних пучків через тонкі полікристалічні плівки та при їх відбиванні від монокристалів спостерігається така ж дифракційна картина, як і при взаємодії рентгенівських променів з твердими кристалічними тілами. Зокрема, виконується закон Вульфа-Бреггів (див. розділ 6), встановлений для рентгенівських променів. Дифракція нейтронних пучків також виявлена експериментально і використовується для наукових досліджень.

Відмітимо, що довжини хвиль де Бройля макроскопічних тіл, за рахунок великої маси, настільки малі, що їх хвильові властивості виявити неможливо.

7.2.2. Корпускулярно-хвильовий дуалізм частинок в мікросвіті накладає обмеження на можливості класичного опису їх стану. В класичній механіці стан частинки задається сукупністю точно заданих координат (x,y,z) та проекцій вектора імпульсу . Якщо задані сили, що діють на частинку, то можна, користуючись законами класичної механіки, передбачити її стан в довільний момент часу – класичний принцип причинності. Для частинки, що рухається вздовж осі х, це означає, що неточності (невизначеності) координати та імпульсу рівні нулю і добуток .

Абсолютно інша ситуація в мікросвіті. Дійсно, вільна частинка, яка рухається вздовж осі х, описується плоскою монохроматичною хвилею де Бройля (7.15), де . І тому її положення повністю невизначене, тобто . З іншого боку, імпульс такої частинки строго визначений і . А отже, добуток є математично невизначеним .

В мікросвіті можна змоделювати об’єкти (наприклад, хвильовий пакет), для яких координата точно визначена , але імпульс повністю невизначений , і тому має місце математична невизначеність типу

Для того, щоб дещо прояснити цю ситуацію, розглянемо наступний умовний експеримент (рис. 7.5). Нехай мікрочастинки, що рухаються вздовж осі х, пролітають через щілину шириною а в непрозорому екрані (1) і фіксуються на екрані спостереження (2). Після проходження щілини розподіл мікрочастинок вздовж осі у повинен відтворювати розподіл інтенсивності в дифракційній картині (3): центральний і бічні максимуми розділені мінімумами. До щілини невизначеності координати та імпульсу: , . В момент проходження щілини: , . Якщо розглядати лише мікрочастинки, які попадають в центральний максимум, що обмежений першими мінімумами, то , і тому . Добуток невизначеностей:

.

На підставі аналізу подібних умовних експериментів Гайзенберг (1927р.) встановив співвідношення між невизначеностями координат і відповідних імпульсів у вигляді

. (7.18)

Інтерпретацію цих співвідношень дав Н. Бор у вигляді принципу доповнюваності:

1) інформація про стан мікрочастинок може бути отримана лише за допомогою макроприладів, які взаємодіють з мікрочастинками;

2) за допомогою конкретного макроприладу можна встановити точне значення або координати, або імпульсу; при цьому чим точніше задана одна характеристика, тим більш невизначена інша.

Стосовно електрона в атомі співвідношення Гейзенберга означають, що поняття орбіти втрачає зміст. Дійсно, якщо невизначеність швидкості електрона , то невизначеність координати , що співмірно з розміром атома. Таким чином, електрон “розмазаний” по всьому об’ємі атома. В цей же час співвідношення невизначеностей не накладають суттєвих обмежень на класичний опис стану макротіл. Дійсно, оскільки , то навіть при .

Пара “координата-імпульс” у співвідношенні (7.18) не є випадковою, оскільки вона входить як добуток в рівняння плоскої хвилі де Бройля (7.15), записане у вигляді

. (7.19)

І тому слід очікувати, що і для іншої пари “енергія-час” матиме місце співвідношення невизначеностей

, (7.20)

де має зміст тривалості перебування (часу життя) мікрочастинки в певному стані. Зокрема, для основного стану електрона у воднеподібному атомі і тому , тобто енергетичний рівень основного стану нерозмитий. Для збуджених станів і . За рахунок цього спектральні лінії випромінювання не є строго монохроматичними.

§7.3. Хвильова функція та її зміст. Рівняння Шрьодінгера

7.3.1. Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії встановлює межі застосування класичної фізики. В мікросвіті класичний спосіб опису стану частинок за допомогою координат та імпульсів перестає бути однозначним і повинен бути замінений іншим – статистичним способом, на якому грунтується механіка мікросвіту – квантова механіка.

Стан мікрочастинок в квантовій механіці задається хвильовою функцією . Зокрема, для вільної одновимірної частинки хвильовою функцією є плоска хвиля де Бройля (7.19), яку представимо тут у комплексній формі:

, (7.21)

де . Помноживши на комплексно спряжену функцію , отримаємо

. (7.22)

З точки зору хвильових уявлень квадрат амплітуди хвилі визначає її інтенсивність, зокрема, інтенсивність дифракційних максимумів на рис. 7.5. З точки зору корпускулярних уявлень – це імовірність попасти мікрочастинці в ту чи іншу точку екрану спостереження після проходження щілини. Отже, фізичний зміст має не сама хвильова функція, а вираз , який називається густиною імовірності. Для частинок, які не є вільними, а перебувають в силових полях, хвильова функція не може розглядатися як просторова хвиля, але її ймовірнісна інтерпретація залишається в силі. Зокрема, імовірність знайти мікрочастинку в деякій області простору, наприклад, в елементарному об’ємі , становить

. (7.23)

Оскільки імовірність повинна бути однозначною, неперервною і скінченою, то на хвильову функцію накладаються наступні стандартні вимоги:

1) вона повинна бути однозначною, неперервною і скінченою;

2) перші похідні по координатах і часу від хвильової функції також повинні бути неперервними, що забезпечить “гладкість” імовірності;

3) вона повинна бути інтегрованою; зокрема, , як імовірність знайти частинку в будь-якій точці простору V (імовірність вірогідної події).

Знання хвильової функції дозволяє встановити середнє значення довільної фізичної величини f:

. (7.24)

Для знаходження хвильової функції конкретного квантовомеханічного об’єкту необхідно розв’язати рівняння Шрьодінгера (1926 р.)

, (7.25)

яке є аналогом ІІ закону Ньютона класичної механіки. В цьому рівнянні

– (7.26)

оператор Гамільтона або оператор повної енергії частинки, де m – маса частинки, – оператор Лапласа

, (7.27)

U – оператор потенціальної енергії, дія якого зводиться до простого множення на хвильову функцію.

Якщо потенціальна енергія частинки явно не залежить від часу, тобто , то квантовомеханічна задача називається стаціонарною, і у хвильовій функції можливе розділення змінних, тобто

. (7.28)

Підставляючи (7.28) у (7.25), після нескладних перетворень отримаємо

, (7.29)

, (7.30)

де с і Е – константи інтегрування, при цьому Е має зміст енергії частинки.

Рівняння (7.30) називається рівнянням Шрьодінгера для стаціонарних станів. Розв’язок цього диференціального рівняння задовольняє стандартні вимоги до хвильової функції, як правило, не при усяких, а дискретних (дозволених) значеннях параметра Е. Ці значення називаються власними значеннями оператора , а відповідні хвильові функції – власними функціями цього оператора.

Отже, розв’язок рівняння Шрьодінгера (7.30) зводиться до знаходження власних значень і власних функцій оператора повної енергії частинки . При цьому дискретність (квантування) енергії не вимагає додаткових штучних припущень типу постулатів Бора (§7.1), а витікає з математичних властивостей самого рівняння Шредінгера. Фізична ж суть цього рівняння полягає у виборі аналітичної форми потенціальної енергії U, тобто у виборі моделі квантомеханічного об’єкту.

7.3.3. Для вільної (U =0) частинки, що рухається вздовж осі х, стаціонарне рівняння Шрьодінгера має вигляд

.

Розв’язок цього рівняння шукається у вигляді

,

що легко перевірити підстановкою в рівняння Шрьодінгера.

Повна хвильова функція, з врахуванням (7.28) і (7.29),

співпадає з виразом для плоскої хвилі де Бройля (7.19), якщо покласти, що . Остання рівність є очевидною, оскільки повна енергія частинки співпадає з її кінетичною енергією

. (7.31)

Дата добавления: 2014-01-04